Équation différentielle du second ordre non homogène
Équation différentielle du second ordre non homogène
Bonjour!
Je dois résoudre l'ED suivante x''(t)+4x'(t)=e^(4t).
1) j'ai cherché les solutions de l'équation homogène x''(t)+4x'(t)=0 et j'ai trouvé x(t)=Ae^(-4t)+B , où A et B sont des constantes ?
2) On me demande de trouver une solution particulière de la forme x(t)=(at+b)e^(+4t).
J'ai donc calculé x'(t)=e^(-4t)[a-4at-4b]
puis x''(t)=8e^(-4t)[-a+2at+2b].
J'obtiens une équation assez lourde avec des a et des b , et je ne sais plus quoi faire ?
Je n'ai pas de conditions initiales en t=0 ... Je ne sais pas comment trouver a et b ???
Je dois résoudre l'ED suivante x''(t)+4x'(t)=e^(4t).
1) j'ai cherché les solutions de l'équation homogène x''(t)+4x'(t)=0 et j'ai trouvé x(t)=Ae^(-4t)+B , où A et B sont des constantes ?
2) On me demande de trouver une solution particulière de la forme x(t)=(at+b)e^(+4t).
J'ai donc calculé x'(t)=e^(-4t)[a-4at-4b]
puis x''(t)=8e^(-4t)[-a+2at+2b].
J'obtiens une équation assez lourde avec des a et des b , et je ne sais plus quoi faire ?
Je n'ai pas de conditions initiales en t=0 ... Je ne sais pas comment trouver a et b ???
Re: Équation différentielle du second ordre non homogène
Bonjour
On obtient donc :
$x"(t)+4x'(t)=e^{-4t}[-8a+16at+16b+4a-16at-16b]=e^{-4t}[-4a]$
On doit donc avoir $-4a=1$soit $a=-\frac{1}{4}$
Et on peut donner à $b$ n'importe quelle valeur. Le plus simple : $b=0$
On a donc $x(t)=-\frac{1}{4} te^{-4t}$
Je pense que l'équation est mal écrite et qu'il s'agit de $x"(t)+4x'(t)=e^{-4t}$Jon83 a écrit : ↑28 décembre 2022, 13:49Bonjour!
Je dois résoudre l'ED suivante x''(t)+4x'(t)=e^(4t).
1) j'ai cherché les solutions de l'équation homogène x''(t)+4x'(t)=0 et j'ai trouvé x(t)=Ae^(-4t)+B , où A et B sont des constantes ?
2) On me demande de trouver une solution particulière de la forme x(t)=(at+b)e^(+4t).
J'ai donc calculé x'(t)=e^(-4t)[a-4at-4b]
puis x''(t)=8e^(-4t)[-a+2at+2b].
J'obtiens une équation assez lourde avec des a et des b , et je ne sais plus quoi faire ?
Je n'ai pas de conditions initiales en t=0 ... Je ne sais pas comment trouver a et b ???
On obtient donc :
$x"(t)+4x'(t)=e^{-4t}[-8a+16at+16b+4a-16at-16b]=e^{-4t}[-4a]$
On doit donc avoir $-4a=1$soit $a=-\frac{1}{4}$
Et on peut donner à $b$ n'importe quelle valeur. Le plus simple : $b=0$
On a donc $x(t)=-\frac{1}{4} te^{-4t}$
Re: Équation différentielle du second ordre non homogène
Bonjour!
Merci pour ta réponse! Voici l'énoncé exact ....
Maintenant, je ne sais pas s'il n'y a pas une coquille ???
Merci pour ta réponse! Voici l'énoncé exact ....
Maintenant, je ne sais pas s'il n'y a pas une coquille ???
- Pièces jointes
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Re: Équation différentielle du second ordre non homogène
Non le texte n'a pas de coquille mais je l'ai pensé car. tu as fait tous les calculs avec $e^{-4t}$ en non avec $e^{4t}$
Il faut donc tout reprendre avec la même méthode et $e^{4t}$, cela ne devrait pas poser de problème.
Il faut donc tout reprendre avec la même méthode et $e^{4t}$, cela ne devrait pas poser de problème.
Re: Équation différentielle du second ordre non homogène
Effectivement, je suis désolé : j'ai fait une erreur de transcription ; je m'excuse ...
Je vais donc essayer avec ta méthode!
A+
Je vais donc essayer avec ta méthode!
A+
Re: Équation différentielle du second ordre non homogène
J'ai donc essayé avec l'équation x''(t)-4x'(t)=e^(4t) .
En utilisant la même technique, je n'arrive pas à retomber sur la solution proposée par Wolfram : x(t)=c1. e^(4t)+c2-(1/8)(e^4)(t^2)-(1/16)(e^4)(t) ...
Je tourne en rond ????
En utilisant la même technique, je n'arrive pas à retomber sur la solution proposée par Wolfram : x(t)=c1. e^(4t)+c2-(1/8)(e^4)(t^2)-(1/16)(e^4)(t) ...
Je tourne en rond ????
Re: Équation différentielle du second ordre non homogène
J'ai finalement réussi à obtenir une solution générale de la forme C1.e^4t+C2+(1/4).t.e^4t qui se rapproche du résultat de Wolfram qui est (1/16)C1.e^4t+C2+(1/4).t.e^4t ...
Ce 1/16 reste mystérieux ???
Ce 1/16 reste mystérieux ???
Re: Équation différentielle du second ordre non homogène
J'ai finalement réussi à obtenir une solution générale de la forme C1.e^4t+C2+(1/4).t.e^4t qui se rapproche du résultat de Wolfram qui est (1/16)C1.e^4t+C2+(1/4).t.e^4t ...
Ce 1/16 reste mystérieux ???
Ce 1/16 reste mystérieux ???