Équation différentielle du second ordre non homogène

Aide sur les questions d'analyses.
Jon83
Membre
Messages : 379
Inscription : 26 novembre 2013, 16:08

Équation différentielle du second ordre non homogène

Message par Jon83 » 28 décembre 2022, 13:49

Bonjour!
Je dois résoudre l'ED suivante x''(t)+4x'(t)=e^(4t).
1) j'ai cherché les solutions de l'équation homogène x''(t)+4x'(t)=0 et j'ai trouvé x(t)=Ae^(-4t)+B , où A et B sont des constantes ?
2) On me demande de trouver une solution particulière de la forme x(t)=(at+b)e^(+4t).
J'ai donc calculé x'(t)=e^(-4t)[a-4at-4b]
puis x''(t)=8e^(-4t)[-a+2at+2b].
J'obtiens une équation assez lourde avec des a et des b , et je ne sais plus quoi faire ?
Je n'ai pas de conditions initiales en t=0 ... Je ne sais pas comment trouver a et b ???

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: Équation différentielle du second ordre non homogène

Message par Job » 28 décembre 2022, 14:40

Bonjour
Jon83 a écrit :
28 décembre 2022, 13:49
Bonjour!
Je dois résoudre l'ED suivante x''(t)+4x'(t)=e^(4t).
1) j'ai cherché les solutions de l'équation homogène x''(t)+4x'(t)=0 et j'ai trouvé x(t)=Ae^(-4t)+B , où A et B sont des constantes ?
2) On me demande de trouver une solution particulière de la forme x(t)=(at+b)e^(+4t).
J'ai donc calculé x'(t)=e^(-4t)[a-4at-4b]
puis x''(t)=8e^(-4t)[-a+2at+2b].
J'obtiens une équation assez lourde avec des a et des b , et je ne sais plus quoi faire ?
Je n'ai pas de conditions initiales en t=0 ... Je ne sais pas comment trouver a et b ???
Je pense que l'équation est mal écrite et qu'il s'agit de $x"(t)+4x'(t)=e^{-4t}$

On obtient donc :
$x"(t)+4x'(t)=e^{-4t}[-8a+16at+16b+4a-16at-16b]=e^{-4t}[-4a]$
On doit donc avoir $-4a=1$soit $a=-\frac{1}{4}$
Et on peut donner à $b$ n'importe quelle valeur. Le plus simple : $b=0$
On a donc $x(t)=-\frac{1}{4} te^{-4t}$

Jon83
Membre
Messages : 379
Inscription : 26 novembre 2013, 16:08

Re: Équation différentielle du second ordre non homogène

Message par Jon83 » 28 décembre 2022, 15:57

Bonjour!
Merci pour ta réponse! Voici l'énoncé exact ....
Maintenant, je ne sais pas s'il n'y a pas une coquille ???
Pièces jointes
Capture d’écran 2022-12-28 145552.png
Capture d’écran 2022-12-28 145552.png (199.85 Kio) Consulté 18868 fois

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: Équation différentielle du second ordre non homogène

Message par Job » 28 décembre 2022, 17:49

Non le texte n'a pas de coquille mais je l'ai pensé car. tu as fait tous les calculs avec $e^{-4t}$ en non avec $e^{4t}$

Il faut donc tout reprendre avec la même méthode et $e^{4t}$, cela ne devrait pas poser de problème.

Jon83
Membre
Messages : 379
Inscription : 26 novembre 2013, 16:08

Re: Équation différentielle du second ordre non homogène

Message par Jon83 » 28 décembre 2022, 17:53

Effectivement, je suis désolé : j'ai fait une erreur de transcription ; je m'excuse ...
Je vais donc essayer avec ta méthode!
A+

Jon83
Membre
Messages : 379
Inscription : 26 novembre 2013, 16:08

Re: Équation différentielle du second ordre non homogène

Message par Jon83 » 28 décembre 2022, 21:41

J'ai donc essayé avec l'équation x''(t)-4x'(t)=e^(4t) .
En utilisant la même technique, je n'arrive pas à retomber sur la solution proposée par Wolfram : x(t)=c1. e^(4t)+c2-(1/8)(e^4)(t^2)-(1/16)(e^4)(t) ...
Je tourne en rond ????

Jon83
Membre
Messages : 379
Inscription : 26 novembre 2013, 16:08

Re: Équation différentielle du second ordre non homogène

Message par Jon83 » 29 décembre 2022, 16:25

J'ai finalement réussi à obtenir une solution générale de la forme C1.e^4t+C2+(1/4).t.e^4t qui se rapproche du résultat de Wolfram qui est (1/16)C1.e^4t+C2+(1/4).t.e^4t ...
Ce 1/16 reste mystérieux ???

Jon83
Membre
Messages : 379
Inscription : 26 novembre 2013, 16:08

Re: Équation différentielle du second ordre non homogène

Message par Jon83 » 29 décembre 2022, 16:41

J'ai finalement réussi à obtenir une solution générale de la forme C1.e^4t+C2+(1/4).t.e^4t qui se rapproche du résultat de Wolfram qui est (1/16)C1.e^4t+C2+(1/4).t.e^4t ...
Ce 1/16 reste mystérieux ???

Répondre