Intégrale de Wallis

Aide sur les questions d'analyses.
Jon83
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Intégrale de Wallis

Message par Jon83 » 10 mai 2022, 10:07

Bonjour!
On donne W(n)=intégrale entre 0 et pi/2 {sin^n (t) dt}
1) J'ai démontré que la suite (Wn) est décroissante et convergente
2) par IPP, j'ai trouvé la relation de récurrence W(n)=((n-1)/n) W(n-2)
3) on me demande de calculer W(n) en fonction de n : et là je galère ???
4) trouver un équivalent de W(n) : je ne comprends pas la question ???
Merci pour votre aide!

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Re: Intégrale de Wallis

Message par Job » 10 mai 2022, 15:44

Bonjour

Un peu de recherche sur le web, l'exercice est traité. C'est un classique

https://progresser-en-maths.com/exercic ... de-wallis/

Jon83
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Re: Intégrale de Wallis

Message par Jon83 » 10 mai 2022, 15:50

Merci pour votre réponse! C'est justement sur ce site que j'ai travaillé ...
Sur la question 3) je ne comprends pas la méthode utilisée: pourquoi séparer les n pairs et les n impairs ?

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Job
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Re: Intégrale de Wallis

Message par Job » 10 mai 2022, 16:09

En écrivant les premiers termes, on comprend le nécessité.

$\displaystyle w_4=\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} W_0\ ;\ w_6=\frac{5}{6} W_4 =\frac{5}{6}\times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} w_0$

$\displaystyle w_3=\frac{2}{3} w_1\ ;\ w_5=\frac{4}{5} w_3= \frac{4\times 2}{5\times 3} w_1$

Jon83
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Re: Intégrale de Wallis

Message par Jon83 » 10 mai 2022, 17:13

Oui, effectivement, en calculant les 7 premiers termes, ça devient clair ...
Pour la dernière question, pourquoi calculer nW(n)W(n-1)=1W(1)W(0) ???

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