équation congruence

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Marc32
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équation congruence

Message par Marc32 » 03 mars 2022, 21:09

Salut Job
j'envoi ce message car j'ai essayé des résoudre ces équations,mais il y a un soucis dans ma rédaction je pense
Voici l'exercice:

a) Résoudre l'équation suivante 3x = 7[9] " 3x congru a 7 modulo 9" désolé pour le symbole égale.

b) Résoudre 4x = 2[5] .

Et voici mes réponses :

a) Dans ce premier cas nous savons que 3 et 9 ne sont pas premiers entre eux, par conséquent cette équation n'a pas de solutions.

En effet une équation du type ax=b[m] a des solutions si et seulement si a et m sont premier entre eux.

b)4 et 5 ne sont premiers entre eux , par conséquent l'équation a une ou plusieurs solutions.

Voici l'algorithme d'Euclide :
5 = 4 x 1 + 1
4 = 1 x 4 + 0

Le pgcd est 1

Les nombres 5 et 4 sont bien premiers entre eux.
Après j'oubli un peu la méthode pour trouver les solutions.

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Job
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Re: équation congruence

Message par Job » 04 mars 2022, 15:13

Salut Marc

a) $3x\equiv 7\ [9]$
L'équivalence que tu énonces n'est pas exacte.
Par exemple, si on considère l'équation $3x\equiv 6 [9]$, elle admet des solutions modulo 9 : $x\equiv 2$ , $x\equiv 5$ , $x\equiv 8$,

Si $d$ est le PGCD de $a$ et $m$ 2 cas possibles :
* Si $d$ ne divise pas $b$ alors l'équation n'a pas de solution.
- pour $3x\equiv 7\ [9]$, le PGCD de 3 et 9 est 3 et 3 ne divise pas 7.
* Si $d$ divise $b$ alors l'équation a $d$ solutions
- pour $3x\equiv 6\ [9]$, le PGCD 3 divise 6. Il y a 3 solutions

b) $4x\equiv 2\ [5]$
On essaie de déterminer une solution. Ici, sans difficulté on peut voir que 3 est solution car $12\equiv 2\ [5]$
On a le système ;
$4 x \equiv 2\ [5]$
$4\times 3\equiv 2\ [5]$
En soustrayant membre à membre : $4(x-3)\equiv 0 \ [5]$
Comme 5 est premier avec 4, 5 divise x-3
Donc dans $\mathbb Z$ les solutions sont les entiers de la forme $x=5k+3,\ k\in {\mathbb Z}$

Marc32
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Re: équation congruence

Message par Marc32 » 04 mars 2022, 21:33

Merci beaucoup piur ton aide Job, si t'as le temps regarde juste le nouveau message que je mettrai sur le DM de Von Koch je crois que j'ai trouvé le corrigé, et mon élève panique car il n'a rien compris

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