limites

[noir d'encre]

Bonsoir,
pouvez-vous vérifier si mes limites sont justes?
$\lim_{x\to 0} \frac{arcos x +2arctan x} {exp-cos x}$=1
$\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt x-x÷2}{\sqrt[3]2x-x÷2}$=8
$\lim_{x\to 0} \frac{e^{sin x}-cos x}{x}$=${\infty}$
Merci

[Job]

Bonjour

1) $\lim_{x\to 0} (\arccos x +2\arctan x)=\frac{\pi}{2}$
Pour le dénominateur, s'agit-il bien de $e^x-\cos x$ ? (il manque le $x$ dans ce qui est écrit)
Dans ce cas : $e^x-\cos x =(1+x+\frac{x^2}{2}) -(1-\frac{x^2}{2})+o(x^2)=x+x^2+o(x^2)$ donc le dénominateur a pour limite 0.
Par conséquent $\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to 0^-} f(x)=-\infty$

2) On pose $x=4+h$ avec $h$ qui tend vers 0.
$\sqrt x -\frac{x}{2} = (4+h)^{\frac{1}{2}} -2-\frac{h}{2}=2(1+\frac{h}{4})^{\frac{1}{2}} -2-\frac{h}{2} =2(1+\frac{1}{2} \times \frac{h}{4}+o(h))-2-\frac{h}{2} =\frac{h}{4}-\frac{h}{2} +o(h)=-\frac{h}{4}+o(h)$
$(2x)^{\frac{1}{3}}-\frac{x}{2} =(8+2h)^{\frac{1}{3}} -2-\frac{h}{2} =2(1+\frac{h}{4})^{\frac{1}{3}}-2-\frac{h}{2} =2(1+\frac{1}{3} \times \frac{h}{4} +o(h))-2-\frac{h}{2}=\frac{h}{6} -\frac{h}{2} +o(h)=-\frac{h}{3} +o(h)$
$\frac{-\frac{h}{4}}{-\frac{h}{3}}=\frac{3}{4}$ donc la limite cherchée est $\frac{3}{4}$

3) $\sin x =x+o(x^2)$ ; $e^{x+o(x^2)}=1+x+\frac{x^2}{2} +o(x^2)$
$\cos x =1-\frac{x^2}{2} +o(x^2)$
$e^{\sin x}-\cos x =x+x^2+o(x^2)$
$\frac{e^{\sin x}-\cos x}{x}=1+x+o(x)$ donc la limite cherchée est égale à 1.

[noir d'encre]

Bonsoir,
je m'étais trompée partout....merci beaucoup