Bonjour,
Je sèche lamentablement sur un exercice...Merci d'avance, si vous pouvez me mettre sur la bonne voie.
k est un rel fixé.
F est définie sur R+ par F(x)=intégrale de x à kx de f(t)dt
F est constante sur R+
Il faut déterminer les fonctions f de R+ vers R, continues, satisfaisantes.
Mes essais :
F(0)=0 donc j'en ai déduire que F(x)=0 pour tout x de R+, mais je n'ai pas su l'exploiter...
Soir G une primitive de f ( donc G'=f )
F(x)=G(kx)-G(x)
En dérivant :
F'(x)=kG'(kx)-G'(x)
0=kf(kx)-f(x)
Ainsi :
f(kx)=(1/k)f(x) J'espère que je n'ai pas fait d'erreur, mais je n'ai pas su aller plus loin.
la fonction f définie par f(x)=k/x conviendrait sur R*+, mais pas sur R+
Merci pour toute suggestion.
intégrale dépendant de x
Re: intégrale dépendant de x
Bonjour.
Votre point de départ est le bon, il s'agit maintenant de discuter suivant $k$.
Si $k<1$, on prouve par récurrence sur $n$ que $f(x)=k^nf(k^nx)$ puis, en faisant tendre (à $x\geq 0$ fixé) $n$ vers $+\infty$ on obtient, puisque $f$ est continue en 0 : $f(x)=0$. $f$ est donc la fonction nulle.
Si $k>1$, il faut appliquer la relation précédente à $y=kx$. On obtient $f(y)=\frac 1kf\bigl(\frac yk\bigr)$ puis par récurrence sur $n$ : $f(y)=\frac1{k^n}f\bigl(\frac y{k^n}\bigr)$. En faisant tendre $n$ vers $+\infty$ on obtient là encore : $f(y)=0$, donc $f$ est la fonction nulle.
Enfin, le cas $k=1$ ne présente bien évidemment aucun intérêt.
Notez que la continuité en 0 est importante pour justifier le passage à la limite puisque, comme vous l'avez remarqué, on trouve des solutions non nulles dès lors qu'on contente d'une fonction définie sur $\text{R}_+^*$.
Votre point de départ est le bon, il s'agit maintenant de discuter suivant $k$.
Si $k<1$, on prouve par récurrence sur $n$ que $f(x)=k^nf(k^nx)$ puis, en faisant tendre (à $x\geq 0$ fixé) $n$ vers $+\infty$ on obtient, puisque $f$ est continue en 0 : $f(x)=0$. $f$ est donc la fonction nulle.
Si $k>1$, il faut appliquer la relation précédente à $y=kx$. On obtient $f(y)=\frac 1kf\bigl(\frac yk\bigr)$ puis par récurrence sur $n$ : $f(y)=\frac1{k^n}f\bigl(\frac y{k^n}\bigr)$. En faisant tendre $n$ vers $+\infty$ on obtient là encore : $f(y)=0$, donc $f$ est la fonction nulle.
Enfin, le cas $k=1$ ne présente bien évidemment aucun intérêt.
Notez que la continuité en 0 est importante pour justifier le passage à la limite puisque, comme vous l'avez remarqué, on trouve des solutions non nulles dès lors qu'on contente d'une fonction définie sur $\text{R}_+^*$.
Re: intégrale dépendant de x
Un grand merci pour cette aide précieuse.
Je vais approfondir tout cela.
Je vais approfondir tout cela.