EDO Un coeff qui change

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torquemada
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EDO Un coeff qui change

Message par torquemada » 14 décembre 2021, 20:50

Bonjour à tous et à toutes,
Un léger problème d'intégration
Ce texte est tiré de
https://dridk.me/equation-differentielle.html
le texte parait long mais en fait le pb est assez court

Essayons par exemple de trouver la fonction N(t) décrivant l'évolution du nombre de bactéries en fonction du temps. Supposons pour l'exemple que nous avons au temps zéro N0=100 bactéries et que le nombre de bactéries au temps t+1 augmente de façon proportionnelle à N(t). C'est-à-dire qu'à t+1 nous avons:
$N(t+1)=N(t)+N(t)×k$
$N(t+1)−N(t)=N(t)×k $
$Soit$
$ΔN=N(t)×k$
L'auteur propose en Python de calculer itérativement à partir de N(t), la prochaine valeur de N(t+1). On obtient une croissance exponentielle.

Dans une deuxième partie l'auteur propose d'utiliser la fonction ODE de python. Il écrit donc la fonction différentielle
$dN/δt=N×K$
$Soit$
$dN/δt=N×ln(k+1)$
Et il ajoute
Attention: La valeur de grand $ K$ dans le domaine continu pour un $ δ$ infinitésimal n'est pas le même que petit $ k $dans le domaine discret pour un $Δt=1$. La relation entre$ K$ et $k$ s'écrit $ K=ln(k+1)$.
C''est ici que j'ai besoin d'aide pour démontrer $ K=ln(k+1)$.
Je suppose que le problème vient du fait que $K$ est aussi fonction du temps
Voici ce que j'ai fait
$dN/δt=N×K$
$dN/N=K×δt$
$ln(N)=$$\int_{}^{}Kδt$
J'ai essayé de faire une intégration par partie $u'=δt$ et $v=K$
$ln(N)$=$Kt+t$
$N=$$e^{(K+1)t}$
mais visiblement je me plante
Merci de m'avoir consacré de votre temps

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