fonction arcsin

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lilie
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fonction arcsin

Message par lilie » 10 décembre 2021, 10:24

bonjour,
serait-il possible de m'aider pour cet exo merci ( pièce jointe)
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Re: fonction arcsin

Message par Job » 11 décembre 2021, 16:50

Bonjour

a) la fonction $f$ est définie pour $x$ tel que : $1-2x^2 \in [-1,1]$ soit $x^2\in [0,1]$ donc $x\in [-1,1]$

La fonction $x\to 1-2x^2$ est une fonction paire donc $f(-x)=\arcsin (1-2(-x)^2) =\arcsin (1-2x^2)=f(x)$.
$f$ est donc une fonction paire.

b) C'est la fonction dérivée d'une fonction composée.

$f'(x)=-4x\times \frac{1}{\sqrt{1-(1-2x^2)^2}}=\frac{-4x}{\sqrt{4x^2-4x^4}}=\frac{-4x}{\sqrt{4x^2(1-x^2)}}$

Pour $x\in [0, 1], f'(x)=\frac{-4x}{2x\sqrt {1-x^2}}=\frac{-2}{\sqrt{1-x^2}}$

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Re: fonction arcsin

Message par Job » 11 décembre 2021, 17:05

$f$ est donc une primitive de $-2\arcsin x$

$f(x) =-2\arcsin x +k$

$f(0)=\frac{\pi}{2}$ donc $k=\frac{\pi}{2}+2\arcsin 0=\frac{\pi}{2}$

donc $f(x)=-2\arcsin x +\frac{\pi}{2}$

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