Suites et limites

Aide sur les questions d'analyses.
Mahezi
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Suites et limites

Message par Mahezi » 10 décembre 2021, 00:53

Bonjour,

J'espère que vous allez bien. Ma sœur a besoin d'aide sur des exercices de suites et limites. Moi ça fait longtemps que j'en ai fait et j'ai tout oublié.

Pouvez-vous s'il vous plaît l'aider?

En capture les exercices.

Merci par avance
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Job
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Re: Suites et limites

Message par Job » 10 décembre 2021, 15:52

1. $u_n = 5^n(1-(\frac{4}{5})^n$

$\lim[1-(\frac{4}{5})^n]=1-0=1$ et $\lim 5^n=+\infty$ donc $\lim u_n=+\infty$

2. $v_n$ est la somme de $(n+1)$ termes d'une suite géométrique de raison $a$

Si $a\geq 1$, $\lim (v_n)=+\infty$

Si $0<a<1, \lim (v_n)=\frac{1}{1-a}$ et $\frac{1}{1-a}=3$ pour $a=\frac{2}{3}$

3. L'expression est égale à $\displaystyle \frac{1}{2^n}+\frac{2}{2^n}+\frac{2^2}{2^n}+\cdots +\frac{2^n}{2^n}=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\cdots +1$
C'est la somme de $(n+1)$ termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$

C'est donc égal à $\displaystyle \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2(1-(\frac{1}{2})^{n+1})=2-(\frac{1}{2})^n$

La limite est donc 2.

Je poursuivrai plus tard ou demain.

Mahezi
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Re: Suites et limites

Message par Mahezi » 10 décembre 2021, 21:18

Bonjour,

Merci pour ces premières réponses

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Re: Suites et limites

Message par Job » 11 décembre 2021, 16:25

Exercice 4

Les racines n-emes de l'unité sont les $\displaystyle e^{i\frac{2k\pi}{n}}\ k\in{1, 2 \cdots n}$
Elles constituent une suite géométrique de raison $\displaystyle e^{i\frac{2\pi}{n}}$

Leur somme est donc égale à $\displaystyle \frac{ (e^{i\frac{2\pi}{n})^n} -1}{ e^{i\frac{2\pi}{n}}-1}=\frac{e^{i(2\pi)}-1}{ e^{i\frac{2\pi}{n}}-1}=\frac{1-1}{ e^{i\frac{2\pi}{n}}-1}=0$


Dans l'exercice 5, je lis difficilement le second membre

L'exercice 8 consiste à montrer que l'ensemble des rationnels est dense dans l'ensemble des Réels.
On doit trouver ça un peu partout sur le net.

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