Bonjour,
J'espère que vous allez bien. Ma sœur a besoin d'aide sur des exercices de suites et limites. Moi ça fait longtemps que j'en ai fait et j'ai tout oublié.
Pouvez-vous s'il vous plaît l'aider?
En capture les exercices.
Merci par avance
Suites et limites
Suites et limites
- Pièces jointes
-
- IMG-20211209-WA0005.jpg (58.07 Kio) Consulté 2318 fois
Re: Suites et limites
1. $u_n = 5^n(1-(\frac{4}{5})^n$
$\lim[1-(\frac{4}{5})^n]=1-0=1$ et $\lim 5^n=+\infty$ donc $\lim u_n=+\infty$
2. $v_n$ est la somme de $(n+1)$ termes d'une suite géométrique de raison $a$
Si $a\geq 1$, $\lim (v_n)=+\infty$
Si $0<a<1, \lim (v_n)=\frac{1}{1-a}$ et $\frac{1}{1-a}=3$ pour $a=\frac{2}{3}$
3. L'expression est égale à $\displaystyle \frac{1}{2^n}+\frac{2}{2^n}+\frac{2^2}{2^n}+\cdots +\frac{2^n}{2^n}=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\cdots +1$
C'est la somme de $(n+1)$ termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$
C'est donc égal à $\displaystyle \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2(1-(\frac{1}{2})^{n+1})=2-(\frac{1}{2})^n$
La limite est donc 2.
Je poursuivrai plus tard ou demain.
$\lim[1-(\frac{4}{5})^n]=1-0=1$ et $\lim 5^n=+\infty$ donc $\lim u_n=+\infty$
2. $v_n$ est la somme de $(n+1)$ termes d'une suite géométrique de raison $a$
Si $a\geq 1$, $\lim (v_n)=+\infty$
Si $0<a<1, \lim (v_n)=\frac{1}{1-a}$ et $\frac{1}{1-a}=3$ pour $a=\frac{2}{3}$
3. L'expression est égale à $\displaystyle \frac{1}{2^n}+\frac{2}{2^n}+\frac{2^2}{2^n}+\cdots +\frac{2^n}{2^n}=\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n-2}}+\cdots +1$
C'est la somme de $(n+1)$ termes d'une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$
C'est donc égal à $\displaystyle \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}=2(1-(\frac{1}{2})^{n+1})=2-(\frac{1}{2})^n$
La limite est donc 2.
Je poursuivrai plus tard ou demain.
Re: Suites et limites
Bonjour,
Merci pour ces premières réponses
Merci pour ces premières réponses
Re: Suites et limites
Exercice 4
Les racines n-emes de l'unité sont les $\displaystyle e^{i\frac{2k\pi}{n}}\ k\in{1, 2 \cdots n}$
Elles constituent une suite géométrique de raison $\displaystyle e^{i\frac{2\pi}{n}}$
Leur somme est donc égale à $\displaystyle \frac{ (e^{i\frac{2\pi}{n})^n} -1}{ e^{i\frac{2\pi}{n}}-1}=\frac{e^{i(2\pi)}-1}{ e^{i\frac{2\pi}{n}}-1}=\frac{1-1}{ e^{i\frac{2\pi}{n}}-1}=0$
Dans l'exercice 5, je lis difficilement le second membre
L'exercice 8 consiste à montrer que l'ensemble des rationnels est dense dans l'ensemble des Réels.
On doit trouver ça un peu partout sur le net.
Les racines n-emes de l'unité sont les $\displaystyle e^{i\frac{2k\pi}{n}}\ k\in{1, 2 \cdots n}$
Elles constituent une suite géométrique de raison $\displaystyle e^{i\frac{2\pi}{n}}$
Leur somme est donc égale à $\displaystyle \frac{ (e^{i\frac{2\pi}{n})^n} -1}{ e^{i\frac{2\pi}{n}}-1}=\frac{e^{i(2\pi)}-1}{ e^{i\frac{2\pi}{n}}-1}=\frac{1-1}{ e^{i\frac{2\pi}{n}}-1}=0$
Dans l'exercice 5, je lis difficilement le second membre
L'exercice 8 consiste à montrer que l'ensemble des rationnels est dense dans l'ensemble des Réels.
On doit trouver ça un peu partout sur le net.