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calcule limite

Publié : 19 novembre 2021, 14:30
par lilie
bonjour,
pourriez- vous m'aider à calculer cette limite stp?
merci

Re: calcule limite

Publié : 19 novembre 2021, 15:13
par Job
Bonjour

En utilisant les développements limités :

$(1+x)^8-1= 8x+o(x)$

$\sin x = x +o(x)$

$ 1-\cos x = 1-(1-\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2} +o(x^2)$

Donc $\displaystyle \frac{[1+x)^8-1]\sin x}{1-\cos x}\sim \frac{8x\times x}{\frac{x^2}{2}}$

La limite cherchée est donc 16.


Il y a différentes rédactions possibles donc utilisez ce que vous avez vu en cours.

Re: calcule limite

Publié : 23 novembre 2021, 10:14
par lilie
bonjour, je n’ai pas vu cette méthode, j’ai vu le théorème d’encadrement et les limites sans les décompositions, auriez vous une idée de comment le faire en théorème d’encadrement ?

Re: calcule limite

Publié : 23 novembre 2021, 12:23
par Job
Le théorème d'encadrement, c'est vague !

Avez-vous vu les 2 limites classique :
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1\ ; \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$

Re: calcule limite

Publié : 23 novembre 2021, 12:51
par lilie
oui j’ai vu c’est deux limites ainsi que la partie conjugué mais votre méthode il me semble que je ne l’ai pas, de plus comment trouver 16 pour la limite ?

Re: calcule limite

Publié : 23 novembre 2021, 16:47
par Job
En divisant numérateur et dénominateur par $x^2$ on a ;
$\displaystyle \frac{\frac{(1+x)^8-1}{x}\times \frac{\sin x}{x}}{\frac{1-\cos x}{x^2}}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1$ et $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$

En développant $(1+x)^8$ par la formule du binôme :
$\displaystyle (1+x
(x+1)^8 =\sum_{k=0}^8 {8\choose k} x^k =1+8x +28x^2 +\cdots +x^8$

$\displaystyle \frac{(x+1)^8-1}{x} = 8 +\sum_{k=2}^8x^{k-1}$

Donc $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(x+1)^8-1}{x}=8+0$

La limite cherchée est donc : $\frac{8\times 1}{\frac{1}{2}}=16$