calcule limite

[lilie]

bonjour,
pourriez- vous m'aider à calculer cette limite stp?
merci

[Job]

Bonjour

En utilisant les développements limités :

$(1+x)^8-1= 8x+o(x)$

$\sin x = x +o(x)$

$ 1-\cos x = 1-(1-\frac{x^2}{2})=\frac{x^2}{2} +o(x^2)$

Donc $\displaystyle \frac{[1+x)^8-1]\sin x}{1-\cos x}\sim \frac{8x\times x}{\frac{x^2}{2}}$

La limite cherchée est donc 16.


Il y a différentes rédactions possibles donc utilisez ce que vous avez vu en cours.

[lilie]

bonjour, je n’ai pas vu cette méthode, j’ai vu le théorème d’encadrement et les limites sans les décompositions, auriez vous une idée de comment le faire en théorème d’encadrement ?

[Job]

Le théorème d'encadrement, c'est vague !

Avez-vous vu les 2 limites classique :
$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1\ ; \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$

[lilie]

oui j’ai vu c’est deux limites ainsi que la partie conjugué mais votre méthode il me semble que je ne l’ai pas, de plus comment trouver 16 pour la limite ?

[Job]

En divisant numérateur et dénominateur par $x^2$ on a ;
$\displaystyle \frac{\frac{(1+x)^8-1}{x}\times \frac{\sin x}{x}}{\frac{1-\cos x}{x^2}}$

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} =1$ et $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} =\frac{1}{2}$

En développant $(1+x)^8$ par la formule du binôme :
$\displaystyle (1+x
(x+1)^8 =\sum_{k=0}^8 {8\choose k} x^k =1+8x +28x^2 +\cdots +x^8$

$\displaystyle \frac{(x+1)^8-1}{x} = 8 +\sum_{k=2}^8x^{k-1}$

Donc $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{(x+1)^8-1}{x}=8+0$

La limite cherchée est donc : $\frac{8\times 1}{\frac{1}{2}}=16$