Mise en facteur

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lesolitaire
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Mise en facteur

Message par lesolitaire » 12 novembre 2021, 18:27

Bonjour;

soit le polynôme à factoriser\[{\left( {z}^{2}-4\,z+5\right) }^{2}+{\left( z+1\right) }^{2}=\left( A-i\,B\right) \,\left( i\,B+A\right) \]

\[={A}^{2}+{B}^{2}\]


le résultat \[\left( {z}^{2}-6\,z+13\right) \,\left( {z}^{2}-2\,z+2\right) \]

j'ai fait des mises en facteur à partir de ces égalités mais sans succès.

merci de votre aide

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Job
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Re: Mise en facteur

Message par Job » 13 novembre 2021, 15:31

Bonjour

Le polynôme se présente sous la forme $A^2+B^2$ avec $A=z^2-4z+5$ et $B=z+1$

Il se factorise en $(A-iB)(A+iB)$ soit

$(z^2-4z+5-i(z+1))(z^2-4z+5+i(z+1))$

$(z^2-(4+i)z+5-i)(z^2-(4-i)z+5+i)= C x D$

On factorise chacun des 2 facteurs qui sont du second degré en en cherchant les racines.

$C = z^2-(4+i)z +5-i$ a pour racines $3+2i$ et $1-i$

$D = z^2 -(4-i)z+5+I$ a pour racines $1+i$ et $3-2i$

Le polynôme est donc égal à :
$[z-(3+2i)][z-(1-i)][z-(3-2i)][z-(1+i)]$ soit

$[(z-3)-2i][(z-3)+2i][(z-1)+I][(z-1)-i]$

$= [(z-3)^2+4][(z-1)^2+1]=(z^2-6z+13)(z^2-2z+2)$

lesolitaire
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Re: Mise en facteur

Message par lesolitaire » 13 novembre 2021, 15:44

Bonjour;

J'étais arrivé aux 3 dernières lignes, mais lorsque je développais il me restait toujours des parties en i...


Merci bien

:D

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