moyenne arithmetico-geometrique

[noir d'encre]

Bonsoir,
Je n'arrive pas trop à résoudre cet exercice:
Soit (a, b) ${\in R^2}$ tel que 0<a${\le}$b . On definit les suites u et v telles que uo=a et vo=b
${\forall}$ n ${\in}$ N, un+1=$\sqrt{un.vn}$ et vn+1=$\frac{un+vn} {2}$
1. Montrer que les deux suites sont bien définies , et qu'elles convergent vers un même nombre, compris entre a et b.
2.verifier que si a=b, M(a, b)=a=b
on note M(a, b) la "moyenne arithmetico-geometrique"de a et b.
3.verifier que pour tout ${\lambda}$ ${\in}$ R*+, M(${\lambda}$a,${\lambda}$b)=${\lambda}$.M(a, b)
si vous pouviez m'aider, svp

[Job]

Bonsoir

1. Par une récurrence immédiate les 2 suites sont définies et strictement positives.
$v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\frac{(u_n+v_n)^2}{4} -u_nv_n=\frac{(u_n-v_n)^2}{4}\geq 0$
Donc $\forall n \in {\mathbb N}, v_n\geq u_n$
On en déduit :
$u_{n+1}^2 =u_nv_n\geq u_n^2$ donc $u_{n+1}\geq u_n$. La suite $(u_n)$ est donc croissante.
$v_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2} \leq \frac{2v_n}{2}=v_n$. La suite $(v_n)$ est donc décroissante.
La suite $(u_n)$ croissante, majorée par $v_0$ converge.
La suite $(v_n)$ décroissante minorée par $u_0$ converge.

On montre par récurrence que $v_n-u_n\leq \frac{v_0-u_0}{2^n}$
Vrai pour $n=0$
On suppose l'inégalité vérifiée au rand $n$.
$v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}-\sqrt {u_nv_n}$
$u_n\leq \sqrt{u_nv_n}$ donc $-\sqrt{u_nv_n}\leq -u_n$. Par conséquent $v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{v_n-u_n}{2}$
D'où $v_{n+1}-u_{n+1} \leq \frac{1}{2} \times \frac{v_0-u_0}{2^n}=\frac{v_0-u_0}{2^{n+1}}$. L'inégalité est vérifiée au rang $(n+1)$.

On en déduit que $\lim_{n\to +\infty} (v_n-u_n)=0$. Les 2 suites sont donc des suites adjacentes et convergent vers la même limite.

[Job]

On peut faire plus simple pour montrer que les 2 suites ont la même limite. Si on désigne par $l$ et $l'$ les limites respectives des 2 suites, on a l'égalité : $l'=\frac{l+l'}{2}$ ce qui donne immédiatement $l=l'$.
J'ajoute : $(u_n)$ étant croissante la limite est supérieure à $a$ et $(v_n)$ étant décroissante, la limite est inférieure à $b$. Elle est donc comprise entre $a$ et $b$.

2. Immédiat.

3. On considère les suites définies par les mêmes égalités que dans la question 1 mais avec $u'_0=\lambda a$ et $v'_0=\lambda b$.
On démontre par récurrence que $u'_n=\lambda u_n$ et $v'_n=\lambda v_n$
En appliquant le résultat de la première question, ces 2 suites convergent vers une même limite qui est le produit par $\lambda$ de la première limite.

[noir d'encre]

D'accord merci beaucoup