Lois binomial Proba

Aide sur les questions d'analyses.
Marc32
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Lois binomial Proba

Message par Marc32 » 18 octobre 2021, 18:49

Salut Job ça fait des années que je n'ai pas eu de tes nouvelles, j'espère que tu vas bien au passage?

Sinon j'aurai besoin d'aide pour l'exo 7 du TD3 (voir document pdf) si possible.
Merci d'avance
TD3_M1MEEF_Proba.pdf
TD de probabilité
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Job
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Re: Lois binomial Proba

Message par Job » 19 octobre 2021, 16:36

Bonjour à toi

Loi binomiale

$\displaystyle E(X)= \sum_{k=0}^n k {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}$

$\displaystyle k{n\choose k} =k\frac{n!}{k! (n-k)!}=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n{n-1\choose k-1}$

$\displaystyle E(X)=n\sum_{k=1}^n {n-1\choose k-1} p^k (1-p)^{n-k}$

En posant $h=k-1$, on a $\displaystyle E(X)=np\sum_{h=0}^{n-1} {n-1\choose h} p^h (1-p)^{n-1-h}$

La somme est celle des termes de la loi binomiale $B(n-1,p)$ donc la somme est égale à 1 et $E(X)=np$

En remplaçant $k^2$ par $k(k-1)+k$ on a

$\displaystyle E(X^2)=\sum_{k=0}^n k(k-1){n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} +\sum_{k=0}^n k {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}$

On montre que $\displaystyle k(k-1){n\choose k} = n(n-1) {n-2 \choose k-2}$

En posant $h=k-2$ on obtient que le premier terme de la somme donnant $E(X^2$ est égal à $n(n-1)p^2$

D'où $E(X^2)=n(n-1)p^2 +np$

$V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=n(n-1)p^2+np -n^2p^2=np(1-p)$

(Si vous avez vu les vecteurs aléatoires, les calculs sont plus simples en considérant X comme somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes.

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Re: Lois binomial Proba

Message par Job » 19 octobre 2021, 16:52

Loi de Poisson

$\displaystyle E(X)=\sum_{k=0}^{\infty}ke^{-\lambda}\frac{\lambda^2}{k!}=e^{-\lambda}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^k}{'k-1)!}=e^{-\lambda} \lambda e^{\lambda} =\lambda$

Pour le calcul de $E(X^2)$, on utilise comme pour la loi binomiale $k^2=k(k-1)+k$.
On obtient $E'X^2)=e^{-\lambda}\lambda^2e^{\lambda}+\lambda =\lambda^2 +\lambda$
Et donc $V(X)=\lambda$

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Re: Lois binomial Proba

Message par Job » 20 octobre 2021, 13:51

Loi géométrique

2 égalités qui seront nécessaires :
Partant de la somme des termes d'une suite géométrique dont la raison appartient à ]0 , 1[ :
$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q^k =\frac{1}{1-q}$, en dérivant on obtient : $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} kq^{k-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$ (A) et en dérivant une seconde fois : $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) q^{k-2}=\frac{2}{(1-q)^3}$ (B)

$\displaystyle E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k p (1-p)^{k-1}=p \sum_{k=1}^{\infty} k (1-p)^{k-1}$

Avec l'égalité (A) $\displaystyle E(X)=p \ \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}$

Avec $k^2=k(k-1)+k$, $\displaystyle E(X^2)= p\sum_{k=1}^{\infty} k(k-1)(1-p)^{k-1}+p\sum_{k=1}^{\infty} k(1-p)^{k-1}$

Avec les égalités (B) et (A) , $\displaystyle E(X^2)=p(1-p) \frac{2}{p^3} +\frac{1}{p}=\frac{2-p}{p^2}$

$\displaystyle V(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\frac{2-p}{p^2} -\frac{1}{p^2} =\frac{1-p}{p^2}$

Marc32
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Re: Lois binomial Proba

Message par Marc32 » 23 octobre 2021, 12:01

Merci infiniment pour ton aide!

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