équation

Aide sur les questions d'analyses.
nico033
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équation

Message par nico033 » 28 août 2021, 20:57

Bonsoir Job;

Pouvez m'aider sur la résolution de l'équation suivante :
5 ch(x) + 3 sh(x) = 4 ch(2x) , je me souviens plus de la méthode;

Calculer la primitive: :
(9x / x^2 - 4x + 13)

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Re: équation

Message par Job » 29 août 2021, 11:06

Bonjour Nico

$I=\displaystyle \int\frac{9xdx}{(x-2)^2+9}$

On fait le changement de variable : $x-2=t$
$\displaystyle I=\int \frac{9(t+2)dt}{t^2+9}=\int \frac{9tdt}{t^2+9}+\int \frac{18dt}{t^2+9}= I_1+I_2$

$I_1=\displaystyle \frac{9}{2}\int\frac{2t dt}{t^2+9}=\frac{9}{2}\ln (t^2+9)=\frac{9}{2}\ln (x^2-4x+13)$

$\displaystyle I_2=\int \frac{18dt}{9(\frac{t^2}{9}+1)} =\int \frac{2dt}{\frac{t^2}{9}+1}$

Avec le changement de variable $u=\frac{t}{3}$

$\displaystyle I_2=\int \frac{6 du}{u^2+1}=6\arctan u= 6\arctan (\frac{x-2}{3}$

nico033
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Re: équation

Message par nico033 » 29 août 2021, 14:19

Bonjour Job;

Ok merci ! Et pour l’équation avec le cos hyperbolique et sinus ?
Merci par avance

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Re: équation

Message par Job » 30 août 2021, 10:02

Bonjour Nico

En utilisant les définitions
$5\times \frac{e^x+e^{-x}}{2} +3\times \frac{e^x-e^{-x}}{2}=4\times \frac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$

Soit $4e^x +e^{-x}= 2e^{2x}+2e^{-2x}$
$4e^x +e^{-x}=2(e^x)^2+2(e^{-x})^2$

En posant $X=e^x$ on a : $4X+\frac{1}{X}= 2X^2+\frac{2}{X^2}$
$4X^3+X=2X^4+2$
$2X^3(X-2)+2-X=0$
$(X-2)(2X^3-1)=0$

Solutions : $e^x=X=2$ et $e^x=X=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}$
$x=\ln 2$ et $x =\frac{1}{3} \ln (\frac{1}{2})=-\frac{1}{3} \ln (2)$

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