Fonctions de deux variables
Re: Fonctions de deux variables
E pour le theoreme des fonctions implicite je l'ai pas trés bien compris .
Re: Fonctions de deux variables
Bonjour
Quand on a une fonction $F$ définie sur un ouvert $U$ de ${\mathbb R}^2$, de classe $C^k$ et $(a,b)\in U$ tel que $F(a,b)=0$ et $\frac{\partial F}{\partial y}\neq 0$ alors dans un voisinage $I\times J \subset U$ de $(a,b)$ il existe une fonction $\varphi$ de classe $C^k$ sur $I$ à valeurs dans $J$ telle que $\forall (x,y) \in I\times J, F(x,y)=0 \Longleftrightarrow y=\varphi (x)$
Le théorème affirme donc l'existence de $\varphi$ mais ne permet pas d'écrire explicitement $y=\varphi (x)$, par contre, on peut calculer explicitement la fonction dérivée.
Exemple : Montrer qu'il existe $\varphi : {\mathbb R}\to {\mathbb R}, x\mapsto y=\varphi (x)$ de classe $C^{\infty}$ au voisinage de 0, et telle que $\varphi (0)=0$, définie implicitement par $\arctan (xy)+1=e^{x+y}$
On considère la fonction $F$ définie par $F(x,y)=\arctan (xy)+1-e^{x+y}$. Elle est de classe $C^{\infty}$ sur ${\mathbb R}^2$ et $F(0,0)=0$.
$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{x}{1+x^2y^2}-e^{x+y}$ donc $\frac{\partial F}{\partial y} (0,0)=-1$
Les conditions sont donc réunies pour assurer l'existence de $\varphi$.
Quand on a une fonction $F$ définie sur un ouvert $U$ de ${\mathbb R}^2$, de classe $C^k$ et $(a,b)\in U$ tel que $F(a,b)=0$ et $\frac{\partial F}{\partial y}\neq 0$ alors dans un voisinage $I\times J \subset U$ de $(a,b)$ il existe une fonction $\varphi$ de classe $C^k$ sur $I$ à valeurs dans $J$ telle que $\forall (x,y) \in I\times J, F(x,y)=0 \Longleftrightarrow y=\varphi (x)$
Le théorème affirme donc l'existence de $\varphi$ mais ne permet pas d'écrire explicitement $y=\varphi (x)$, par contre, on peut calculer explicitement la fonction dérivée.
Exemple : Montrer qu'il existe $\varphi : {\mathbb R}\to {\mathbb R}, x\mapsto y=\varphi (x)$ de classe $C^{\infty}$ au voisinage de 0, et telle que $\varphi (0)=0$, définie implicitement par $\arctan (xy)+1=e^{x+y}$
On considère la fonction $F$ définie par $F(x,y)=\arctan (xy)+1-e^{x+y}$. Elle est de classe $C^{\infty}$ sur ${\mathbb R}^2$ et $F(0,0)=0$.
$\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{x}{1+x^2y^2}-e^{x+y}$ donc $\frac{\partial F}{\partial y} (0,0)=-1$
Les conditions sont donc réunies pour assurer l'existence de $\varphi$.