Bonsoir ,
Qui peux m'aider sur les fonctions de deux variables qu'est ce que je doit savoir et des astuces sur la représentation graphique de ces fonctions .
Merci,
Cordialement,
Fonctions de deux variables
Re: Fonctions de deux variables
Bonsoir
Quelques points souvent posés
Étude de la continuité en un point particulier où les théorèmes généraux ne s'appliquent pas.
Il s'agit le plus souvent du point (0,0).
On peut regarder les applications partielles $f(x,0)$ et $f(0,y)$. Si l'une n'a pas de limite en 0 ou si elles ont des limites différentes alors $f$ n'est pas continue en (0,0).
Si elles admettent la même limite, ce n'est pas encore gagné. On peut aussi regarder par exemple $f(x,x)$ et sa limite en 0.
Ces méthodes servent à montrer qu'il n'y a pas continuité. Exemple la fonction $f$ définie par $f(x,y)=\left \{ \begin{array}{r c l}\frac{x^2y^2}{x^4+y^6}\ si\ (x,y)\neq (0,0) \\ 0\ si (x,y)=(0,0)\end{array}\right.$
Si le dénominateur de $f(x,y)$ est de égal à $x^2+y^2$, une méthode souvent utiles, on passe en coordonnées polaires.
Exemple : $f(x,y)=\left \{ \begin{array}{r c l}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\ si\ (x,y)\neq (0,0) \\ 0\ si\ (x,y)=(0,0)\end{array}\right.$
Calcul des dérivées partielles
Pour calculer la dérivée partielle de $f$ suivant $x$, on fixe mentalement $y$ et on dérive par rapport à $x$
Exemple : $f(x,y)=x^2+3xy$ ; $\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y$ ; $\frac{\partial f}{\partial y} =3x$
Le calcul des dérivées secondes suit le même principe.
Avec l'exemple précédent $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2$ ; $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=3$
Extremums locaux
On commence par déterminer les points critiques, ce sont les points où les 2 dérivées premières s'annulent.
Pour connaître la nature de l'extremum local au point critique $(x_0,y_0)$, on peut calculer $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)$ en fonction de $h$ et $k$ et voir si cette expression reste ou non de signe constant au voisinage de (0,0). Si oui, on a un maximum ou un minimum suivant le signe, sinon on a un point col.
(On peut aussi utiliser, si vous l'avez vue, la notation de Monge)
Je n'ai résumé que quelques points car vous avez certainement un cours.
En ce qui concerne la représentation graphique, pour représenter $f$, on est en dimension 3.
Par contre, on est souvent amené à représenter l'ensemble de définition de $f$ mais il est difficile de donner une méthode générale.
Quelques points souvent posés
Étude de la continuité en un point particulier où les théorèmes généraux ne s'appliquent pas.
Il s'agit le plus souvent du point (0,0).
On peut regarder les applications partielles $f(x,0)$ et $f(0,y)$. Si l'une n'a pas de limite en 0 ou si elles ont des limites différentes alors $f$ n'est pas continue en (0,0).
Si elles admettent la même limite, ce n'est pas encore gagné. On peut aussi regarder par exemple $f(x,x)$ et sa limite en 0.
Ces méthodes servent à montrer qu'il n'y a pas continuité. Exemple la fonction $f$ définie par $f(x,y)=\left \{ \begin{array}{r c l}\frac{x^2y^2}{x^4+y^6}\ si\ (x,y)\neq (0,0) \\ 0\ si (x,y)=(0,0)\end{array}\right.$
Si le dénominateur de $f(x,y)$ est de égal à $x^2+y^2$, une méthode souvent utiles, on passe en coordonnées polaires.
Exemple : $f(x,y)=\left \{ \begin{array}{r c l}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\ si\ (x,y)\neq (0,0) \\ 0\ si\ (x,y)=(0,0)\end{array}\right.$
Calcul des dérivées partielles
Pour calculer la dérivée partielle de $f$ suivant $x$, on fixe mentalement $y$ et on dérive par rapport à $x$
Exemple : $f(x,y)=x^2+3xy$ ; $\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y$ ; $\frac{\partial f}{\partial y} =3x$
Le calcul des dérivées secondes suit le même principe.
Avec l'exemple précédent $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2$ ; $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=3$
Extremums locaux
On commence par déterminer les points critiques, ce sont les points où les 2 dérivées premières s'annulent.
Pour connaître la nature de l'extremum local au point critique $(x_0,y_0)$, on peut calculer $f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)$ en fonction de $h$ et $k$ et voir si cette expression reste ou non de signe constant au voisinage de (0,0). Si oui, on a un maximum ou un minimum suivant le signe, sinon on a un point col.
(On peut aussi utiliser, si vous l'avez vue, la notation de Monge)
Je n'ai résumé que quelques points car vous avez certainement un cours.
En ce qui concerne la représentation graphique, pour représenter $f$, on est en dimension 3.
Par contre, on est souvent amené à représenter l'ensemble de définition de $f$ mais il est difficile de donner une méthode générale.
Re: Fonctions de deux variables
Merci,
Mais mon grand probléme est de la représentation graphique .
Mais mon grand probléme est de la représentation graphique .
Re: Fonctions de deux variables
Pouvez-vous me donner un exemple précis de ce qui vous pose problème.
Re: Fonctions de deux variables
Je ne dispose pas un exemple mais mon problème c'est que j'ai pas très bien compris la parties des repreéentation graphique , comment tracer la courbe d'une fonction de 2 variables .
Re: Fonctions de deux variables
Je ne comprends toujours pas très bien ce que vous voulez car représenter f c'est faire un dessin en géométrie dans l'espace.
Ou s'agit-il d'un exercice tel que celui-ci :
Déterminer les extrema de $f\ :\ {\mathbb R}^2 \to {\mathbb R},\ (x,y)\mapsto (y-x)^3+6xy$ sur $E=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2\ /\ -1\leq x\leq y\leq 1\}$
Ou d'une application du théorème des fonctions implicites.
Ou s'agit-il d'un exercice tel que celui-ci :
Déterminer les extrema de $f\ :\ {\mathbb R}^2 \to {\mathbb R},\ (x,y)\mapsto (y-x)^3+6xy$ sur $E=\{(x,y)\in {\mathbb R}^2\ /\ -1\leq x\leq y\leq 1\}$
Ou d'une application du théorème des fonctions implicites.
Re: Fonctions de deux variables
Donc il existe pas une représentation graphique ( courbe ) comme exercices
Re: Fonctions de deux variables
Non car la représentation graphique est une surface, il faudrait un logiciel de représentation en dimension 3.DONHAMZA a écrit :Donc il existe pas une représentation graphique ( courbe ) comme exercices
Re: Fonctions de deux variables
Merci, car les exercices que j'ai fais sont juste des calculs de dérivées j'ai pas trouvé d'autres.
a ton avis c'est quoi les points essentielles que je dois retenir.
a ton avis c'est quoi les points essentielles que je dois retenir.
Re: Fonctions de deux variables
Un peu difficile de répondre, le sujet peut être vaste, il faut voir à quel niveau se situe le cours et ce que le professeur a traité.DONHAMZA a écrit :Merci, car les exercices que j'ai fais sont juste des calculs de dérivées j'ai pas trouvé d'autres.
a ton avis c'est quoi les points essentielles que je dois retenir.
Les notions de continuité, de dérivabilité et les recherches d'extremums devraient figurer dans les choses à savoir faire.