Bonjour,
J'ai fait un exercice sur les suites où j'ai buggé à de nombreuses reprises.
Si vous voulez bien m'aider à corriger mes erreurs.
Merci d'avance et bonne année 2014.
Soit la suite numérique(Un) définie pour n appartient à N* par Un= n(n+2)/ (n+1)^2
On pose pour tout n appartient N*
xn= u1*u2*u3*...*un
1) Démontrer que pour tout n appartenant à N* on a
Un= 1-1/(n+1)^2
En déduire que pour tout n>0 on a 0<un<1 et le sens de variation de la suite.
Bon j'ai réussi à démontrer. C'est juste après le truc devient plus difficile.
supposons n>0 on a 1/(n+1)^2>0 (au début je voulais faire <0 puis qu'en faisant l'inverse normalement on change l'ordre des signes mais comme un carré est toujours positif j'ai laissé tel quel)
donc -1/(n+1)^2<0
ensuite on a 1-1/(n+1)^2<1
et après on cherche à encadrer à trois en rajoutant un troisième truc genre
0<1-1/(n+1)^2<1
Le truc c'est que je démarrais avec une inégalité au départ et faire le passage à deux soudainement ça fait bizarre.
après le sens de variation de la suite
on utilise n(n+2)/ (n+1)^2
et on fait un tableau de variation. la suite Un est croissante sur ]0;+infini[. Elle est majorée en 1.
2)
a) Montrer par récurrence que pour tout n appartenant à N* on a:
xn= n+2/ 2(n+1)
on vérifie pour no=1
x1= 3/4 et u1= 3/4
donc vrai au rang no
on suppose que c'est vrai au rang n et on vérifie pour n+1.
xn+1= xn* Un+1
xn+1= n+2/ 2(n+1)* (n+1)(n+3)/(n+2)^2
xn+1= (n+3)/ 2(n+2)
or xn+1= Un*Un+1
et Un*Un+1=n(n+2)/ (n+1)^2*(n+1)(n+3)/(n+2)^2
xn+1= n(n+3)/(n+1)(n+2)
mais n(n+3)/(n+1)(n+2) différent de (n+3)/ 2(n+2) donc je ne sais pas comment faire.
b) Déterminer la limite de la suite (xn)
lim xn quand x tend vers +infini est n(1+2/n)/ 2n(1+1/n))= n/2n= 1/2
3) On pose vn= log(Un)
a) Justifier que la suite (vn) est bien définie pour n appartient à N*
un est défini pour n appartient à N* et log(un) définie sur N* donc suite (vn) est bien définie pour n appartient à N*
b) Prouver que la suite (vn) est croissante.
Un est croissante et la fonction log est croissante donc vn est croissante
c) Démontrer que la suite (vn) est bornée
Un est borné et log est borné donc vn est borné.
d) Déterminer la limite de la suite (vn)
lim Un= n(n+2)/ (n+1)^2 vers +infini est n^2+2n/ n^2+2n+1 = n^2( 1+2/n)/ n^2(1+2/n+1/n^2)=1
or log(1)=0
donc la limite de la suite Vn est 0.
4) On pose yn= v1+v2+v3+...+vn
a) exprimer yn en fonction de xn
log(a)+Log(b)= log(a*b)
yn+1= log(Un) + log(Un+1)= log (Un*Un+1)
or xn= u1*u2*u3*...*un
yn+1= log(xn+1)
d'où yn= log(xn)
b) Déterminer la limite de la suite (yn)
lim xn =1/2
d'où lim log(xn)= log (1/2)= log(1)-log(2)= -log(2)
exercice sur les suites numériques
Re: exercice sur les suites numériques
Merci pour les vœux, bonjour et également bonne année 2014.
1) Pour la majoration par 1, d'accord. (Supprimer dans la rédaction "supposons" car $n>0$ est une hypothèse)
Pour la minoration : $n>0 \Longrightarrow (n+1)^2>1$ donc $\frac{1}{(n+1)^2}<1$; $-\frac{1}{(n+1)^2}>-1$ et $1-\frac{1}{(n+1)^2}>0$
Pour le sens de variation, on peut aussi montrer directement que $u_{n+1}>u_n$ mais l'étude de la fonction convient aussi en définissant la fonction sur ${\mathbb R}^+$ par $f(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$ car $n$ étant un entier naturel, une fonction définie sur les entiers naturels n'est pas continue donc pas dérivable.
" sur $]0, +\infty[" est à supprimer dans la rédaction.
2) a)
Bien jusque $x_{n+1}=\frac{n+3}{2(n+2)}$. Il suffit alors de voir que $\frac{n+3}{2(n+2)}=\frac{(n+1)+2}{2[(n+1)+1]}$ ce qui montre que l'égalité est vérifiée au rang $(n+1)$.
b) D'accord.
3) S'agit-il bien de la fonction $\log$ c'est-à-dire logarithme décimal ou de la fonction $\ln$ logarithme népérien ? Le raisonnement est le même dans les 2 cas.
a) La suite n'est pas définie parce que $n\in {\mathbb N}^*$ mais parce que $\forall n \in {\mathbb N}^*,u_n>0$
b) D'accord.
c) La fonction $\log$ n'est pas bornée mais comme elle est croissante, $u_n<1 \Longrightarrow \log(u_n)<\log 1=0$
d) À ajouter, pour justifier que la fonction $\log$ est continue.
4) a) Inutile de passer par $y_{n+1}$
$y_n=\log(u_1)+\log(u_2) +\cdots +\log(u_n)=\log (u_1\cdot u_2 \cdots u_n)=\log (x_n)$
b) D'accord.
1) Pour la majoration par 1, d'accord. (Supprimer dans la rédaction "supposons" car $n>0$ est une hypothèse)
Pour la minoration : $n>0 \Longrightarrow (n+1)^2>1$ donc $\frac{1}{(n+1)^2}<1$; $-\frac{1}{(n+1)^2}>-1$ et $1-\frac{1}{(n+1)^2}>0$
Pour le sens de variation, on peut aussi montrer directement que $u_{n+1}>u_n$ mais l'étude de la fonction convient aussi en définissant la fonction sur ${\mathbb R}^+$ par $f(x)=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$ car $n$ étant un entier naturel, une fonction définie sur les entiers naturels n'est pas continue donc pas dérivable.
" sur $]0, +\infty[" est à supprimer dans la rédaction.
2) a)
Bien jusque $x_{n+1}=\frac{n+3}{2(n+2)}$. Il suffit alors de voir que $\frac{n+3}{2(n+2)}=\frac{(n+1)+2}{2[(n+1)+1]}$ ce qui montre que l'égalité est vérifiée au rang $(n+1)$.
b) D'accord.
3) S'agit-il bien de la fonction $\log$ c'est-à-dire logarithme décimal ou de la fonction $\ln$ logarithme népérien ? Le raisonnement est le même dans les 2 cas.
a) La suite n'est pas définie parce que $n\in {\mathbb N}^*$ mais parce que $\forall n \in {\mathbb N}^*,u_n>0$
b) D'accord.
c) La fonction $\log$ n'est pas bornée mais comme elle est croissante, $u_n<1 \Longrightarrow \log(u_n)<\log 1=0$
d) À ajouter, pour justifier que la fonction $\log$ est continue.
4) a) Inutile de passer par $y_{n+1}$
$y_n=\log(u_1)+\log(u_2) +\cdots +\log(u_n)=\log (u_1\cdot u_2 \cdots u_n)=\log (x_n)$
b) D'accord.