famille libre

Aide sur les questions d'analyses.
gigi10
Membre
Messages : 24
Inscription : 29 octobre 2020, 16:24

famille libre

Message par gigi10 » 13 mars 2021, 13:28

Bonjour job,

je rencontre un problème sur un exercice serait-il possible de m'aider svp ?
il faut que je montre de la famille (cos(kx)) avec k allant de 1 à 4 entier est libre. Je sais que pour que cette famille soit libre il faut ici que les lambda 1,2,3,4 soient nuls et que le produit de la famille et des lambdas soit egale au neutre. Pour trouver cela il me semble judicieux de poser des vecteurs or je ne trouve pas lesquels...

gigi10
Membre
Messages : 24
Inscription : 29 octobre 2020, 16:24

Re: famille libre

Message par gigi10 » 13 mars 2021, 22:52

il y a t il donc une autre méthode ?

Avatar de l’utilisateur
Job
Propriétaire du forum
Messages : 2584
Inscription : 28 juin 2013, 15:07
Contact :

Re: famille libre

Message par Job » 14 mars 2021, 10:52

Bonjour

Partant de : $\lambda_1\cos x +\lambda_2\cos (2x) +\lambda_3\cos (3x) +\lambda_4 \cos (4x) =0$, il s'agit de montrer que les 4 coefficients sont nuls.
L'égalité doit être vérifiée quel que soit $x$ donc il suffit de prendre des valeurs bien choisies pour $x$ pour obtenir 4 équations

Pour $x=0$, on a $\lambda_1+\lambda_2 +\lambda_3 +\lambda_4=0$

Pour $x=\frac{\pi}{2}$ on a : $-\lambda_2+\lambda_4=0$

Pour $x=\pi$ on a : $-\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3+\lambda_4=0$

Pour $x=\frac{\pi}{3}$, on a $\frac{1}{2}\lambda_1-\frac{1}{2} \lambda_2-\lambda_3-\frac{1}{2} \lambda_4=0$

En résolvant le système de 4 équations, on obtient $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0$

Répondre