etude équation différentielle

[gigi10]

Bonjour job j'ai un dm a faire or il y a une partie ou je n'y arrive pas, qui est la suivante, pouvez vous m'aider svp ?

on considère une équation differentielle sur )0;+l'infini( de classe C1 : (1+x)(2xy'+y)=1 (E)

1) résoudre l'équation homogène sur )0;+l'infini(
2) étudier l'existence de primitives de la fonction g(x)= 1/(2raine de x +(1+x)
déterminer l'expression de ses primitives sur le domaine d'existance trouvé
3) en déduire une solutioon particulière de (E) definie sur )0;+l'infini(
4) donner la forme générale des solutions de (E) sur l'intervalle )0;+l'infini(

[gigi10]

je bloque toujours je ne comprends pas comment on peut résoudre cela quand c'est sous cette forme

[Job]

Bonjour

1) Sur $]0,+\infty[$ il s'agit de résoudre $2xy'+y=0$

On a $\frac{y'}{y}=-\frac{1}{2x}$
En prenant les primitives : $\ln y =-\frac{1}{2} \ln x= \ln \frac{1}{\sqrt x}+C$
Donc les solutions de l'équation homogène sont les fonctions définies sur $]0,+\infty[$ par $y(x)=\frac{k}{\sqrt x}\ k\in {\mathbb R}$

2) L'écriture de $g(x)$ est incorrecte, il manque une parenthèse fermante et je ne sais pas quel est le dénominateur.

[gigi10]

merci bcp !
en effet, je m'en excuse la fonction est g(x)= 1/(2raine de x +(1+x))

[gigi10]

pour la 2, j'ai décomposer la fonction pour retrouver des primities connues telles que ln(1+x)+c pour 1/(1+x) et sqrt(x)+C pour 1/2sqrt(x), donc au finale je trouve G(x)=ln(1+x)+sqrt(x)+C comme primitive est-ce ca?
aussi, les autres questions je suis bloquée

[gigi10]

aussi je suis dsl d'encore vous déranger mais comment on montre l'existence d'une primitive?

[Job]

Bonjour

Il y a toujours une confusion avec l'écriture.

Si $g(x)=\frac{1}{2\sqrt x} +\frac{1}{x+1}$ alors votre primitive est correcte.

Mais si $g(x)=\frac{1}{2\sqrt x +x+1}$ alors ce n'est pas exact.

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

[gigi10]

décidément j'ai du mal, je m'en excuse... la fonction g était g(x)=1/((2racine de x)(1+x))

[gigi10]

faut-il utiliser une mvc pour trouver une solution particuliere ?

[Job]

C'est plus commode avec la bonne fonction.

2) On cherche $\displaystyle \int \frac{dx}{2\sqrt x}\times \frac{1}{1+x}$

En faisant le changement de variable $t=\sqrt x$, on a $dt =\frac{dx}{2\sqrt x}$

Donc $\displaystyle \int \frac{dx}{2\sqrt x}\times \frac{1}{1+x}=\int \frac{dt}{1+t^2}=\arctan t =\arctan (\sqrt x)$

3) $2xy'+y=\frac{1}{1+x}=g(x)(2\sqrt x)$ soit $g(x)=y'\sqrt x+\frac{y}{2\sqrt x}$

$y'\sqrt x+\frac{y}{2\sqrt x}$ est la dérivée de $y\sqrt x)$

En prenant les primitives, on a $y\sqrt x = \arctan (\sqrt x)$ donc $y=\frac{\arctan (\sqrt x)}{\sqrt x}$ est une solutions particulière de l'équation différentielle.

4) On obtient la forme générale en ajoutant cette solution particulière aux solutions de l'équation homogène.