Equation différentielle

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torquemada
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Equation différentielle

Message par torquemada » 04 mars 2021, 22:01

Bonjour à tous,
La question est résoudre l'équation
$D={R*}$
$ x^{2}y'+y=3$

Ce que j'ai fait
$y'+y/x^{2}=3/x^{2}$
Multiplication par une fonction U afin d'obtenir la dérivée d'un produit dans le premier membre
$Uy'+U*1/x^{2}*y=3/x^{2}*U$

$U'=1/x^{2}*U$
$U'/U=1/x^{2}$
$U=e (integrale_ 1/x^{2} dx)$
$U=e^{-1/x}$
Multiplions l'équation par U
$e^{-1/x}*y'+e^{-1/x}*1/x^{2}*y=3/x^{2}*e^{-1/x}$
$(e^{-1/x}*y)'=3/x^{2}*e^{-1/x}$
$(e^{-1/x}*y)=3*e^{-1/x}$
d'ou
$y=3$
Bon c'est une solution mais pas la bonne .
Il ya certainement une solution plus simple
Merci de m'avoir consacré de votre temps

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Job
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Re: Equation différentielle

Message par Job » 05 mars 2021, 17:29

Bonjour

En passant par l'équation homogène : $x^2y' +y=0$

$\frac{y'}{y}=-\frac{1}{x^2}$.

Les solutions sont les fonctions $y=ke^{\frac{1}{x}}$ $(k\in {\mathbb R})$

Comme dans l'équation proposée on a une solution particulière : $y=3$, les solutions sont les fonctions $y=ke^{\frac{1}{x}}+3$ $(k\in {\mathbb R})$

torquemada
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Re: Equation différentielle

Message par torquemada » 05 mars 2021, 22:16

si j'ai bien compris il fallait considérer l'équation comme une ED linéaire du 1er ordre avec coefficients fonctions continues mais ma démarche était elle vouée à l'échec par essence (essayer de considérer une dérivée de produit et finalement aboutir à un résultat trivial) ou ai je fait une erreur de calcul.
Espérant ne pas avoir abuser, merci Job

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Re: Equation différentielle

Message par Job » 06 mars 2021, 17:05

Vous obtenez : $\displaystyle (e^{-\frac{1}{x}} y)'=\frac{3}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}$

Quand on pose aux primitives on a : $\displaystyle e^{-\frac{1}{x}} y =3e^{-\frac{1}{x}} +k\ (k\in {\mathbb R})$

d'où $\displaystyle y=3+ke^{\frac{1}{x}}$ et on a ainsi toutes les solutions.

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