Bonjour à tous
l'exercice que je présente aujourd'hui peut paraitre simple puisqu'il s'agit d'inéquations mais j'ai rencontré des difficultés quand c'est à la fois au numérateur et dénominateur. Que faut-il faire dans ce cas?
1) x+1/x+3>0
bon là on sait que le numérateur et le dénominateur doivent être de mêmes signes.
Donc ils sont tous les deux positifs pour
x+1>0 quand x>-1 et x+3>0 quand x>-3
Donc on a un intervalle ]-1;+infini[
et ils sont tous les deux positifs pour x+1<0 quand x<-1 et x+3<0 quand x<-3
Donc on a un intervalle ]-infini;-1[
ce qui fait comme solution R-(-1;-3) puisque la fonction est définie sur R-(-3).
2) x²-1/x²+x-6>0
Bon là on sait aussi que le numérateur et le dénominateur doivent être de mêmes signes.
Donc ils sont tous les deux positifs pour
x²-1>0 quand x appartient à ]- infini; -11;+infini[ et x²+x-6>0 quand x appartient à ]-infini;-32;+infini[
donc on a un intervalle d'intersection entre les deux qui est ]-infini;-32;+infini[
x²-1<0 quand x appartient à ]-1;1[ et x²+x-6<0 quand x appartient à ]-3;2[
donc on a un intervalle d'intersection de ]-1;1[.
Donc maintenant faut chercher l'intersection entre ]-infini;-32;+infini[ et ]-1;1[ pour avoir la réponse.
donc ça fait S= ]-1;1[ sur R-(-3;2).
3)x^3-2x²-x+2<0 bon là je ne sais pas quelle méthode utiliser, j'ai fait au pif et j'ai vu que le 1et le 2 marchaient.
4) (x+3)²<=4 ça fait (x+5) (x+1)<=0 Donc S= [1;5]
5) (x-3)^3>=1
Donc là c'est pas au carré donc plus compliqué de le mettre en facteurs
(x-3)^3-1^3>=0
ce qui fait (x-2) (x-4) ( ax+b)
(x²-4x-2x+8)( ax+b)
(x²-6x+8) (ax+b)
ax^3+ bx²-6ax²-6bx +8ax+8b
par identification on a: a=1
b-6a=0 d'où b= 6
donc on a (x-2) (x-4) (x+6)
Donc c'est égal à 0 pour S= (2,4,-6)
le problème c'est que je ne sais pas quand c'est supérieur. là on peut pas faire -a entre les racines et +a à l'extérieur des racines puisque c'est un polynôme au troisième degré.
Merci d'avance pour éclairer ma faible lanterne.
Résolution d'inéquations
Re: Résolution d'inéquations
Bonjour
Dans tous ces exercices il faut penser à faire un tableau de signes.
1) On étudie le signe de chacun des facteurs (du premier ou du second degré) ou du numérateur et du dénominateur.
2) On fait un tableau. Sur une première ligne, les valeurs remarquables de x obtenues précédemment. (Attention à l'ordre)
Puis une ligne pour chacun des facteurs (ou du numérateur et du dénominateur)
Dernière ligne, on conclut avec le signe du produit ou du quotient sur chacun des intervalles et pour chaque valeur remarquable.
1) L'ensemble des solutions est : $S=]-\infty , -3[ \cup ]-1, +\infty[$
2) $S=]-\infty , -3[\cup ]-1,1[ \cup ]2,+\infty[$
3) $x^3-2x^2 -x+2=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)$ Il reste à étudier le signe du produit avec la méthode indiquée.
4) Les racine sont (-5) et (-1) donc $S=[-5 ,-1]$.
5) Votre calcul est faux.
Une identité utile à connaître : $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
On l'utilise : $(x-3)^3-1^3=(x-3-1)[(x-3)^2+(x-3)+1)]=(x-4)(x^2-5x+7)$
Le trinôme $x^2-5x+7$ n'a pas de racine, il est toujours strictement positif. Donc l'inéquation est vérifiée si et seulement si $x-4\geq 0$.
$S=[4 , +\infty[$
Une autre méthode : la fonction cube est strictement croissante donc $(x-3)^3\geq 1^3$ si et seulement si $x-3\geq 1$ soit $x-4\geq 0$
Dans tous ces exercices il faut penser à faire un tableau de signes.
1) On étudie le signe de chacun des facteurs (du premier ou du second degré) ou du numérateur et du dénominateur.
2) On fait un tableau. Sur une première ligne, les valeurs remarquables de x obtenues précédemment. (Attention à l'ordre)
Puis une ligne pour chacun des facteurs (ou du numérateur et du dénominateur)
Dernière ligne, on conclut avec le signe du produit ou du quotient sur chacun des intervalles et pour chaque valeur remarquable.
1) L'ensemble des solutions est : $S=]-\infty , -3[ \cup ]-1, +\infty[$
2) $S=]-\infty , -3[\cup ]-1,1[ \cup ]2,+\infty[$
3) $x^3-2x^2 -x+2=x^2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^2-1)$ Il reste à étudier le signe du produit avec la méthode indiquée.
4) Les racine sont (-5) et (-1) donc $S=[-5 ,-1]$.
5) Votre calcul est faux.
Une identité utile à connaître : $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
On l'utilise : $(x-3)^3-1^3=(x-3-1)[(x-3)^2+(x-3)+1)]=(x-4)(x^2-5x+7)$
Le trinôme $x^2-5x+7$ n'a pas de racine, il est toujours strictement positif. Donc l'inéquation est vérifiée si et seulement si $x-4\geq 0$.
$S=[4 , +\infty[$
Une autre méthode : la fonction cube est strictement croissante donc $(x-3)^3\geq 1^3$ si et seulement si $x-3\geq 1$ soit $x-4\geq 0$