bonjour tout le monde
j'essaye de résoudre les questions de la partie 1 de ce problème, j'ai des pistes mais à chaque fois je n'arrive pas à aller jusqu'au bout de la résolution
pourriez-vous m'aider à y voir plus clair ? merci
http://hpics.li/bfcbfd8
Approximation d'une fonction
Re: Approximation d'une fonction
Bonsoir
(1) (a) $G$ est continue sur $[0,1]/\{\alpha\}$
Puisque $g(\alpha)=0$, $\lim_{t\to \alpha} G(t)=\lim_{t\to \alpha}\frac{g(t)-g(\alpha)}{t-\alpha} =g'(\alpha) =G(\alpha)$ donc $G$ est continue en $\alpha$.
$G$ est donc continue sur [0,1]
Pour $t\neq \alpha$, $G'(t)=\frac{g'(t)(t-\alpha)-g(t)}{(t-\alpha)^2}$ continue sur $[0,1]/\{\alpha\}$
$g$ étant de classe $C^2$, en utilisant la formule de Taylor-Lagrange, on peut écrire : $g(\alpha)=g(t)+(\alpha -t) g'(t) +\frac{(\alpha-t)^2}{2} g"(\xi)$ avec $\xi$ entre $\alpha$ et $t$.
$g(\alpha)=0$ donc $-g(t)+(t-\alpha) g'(t)=\frac{(\alpha-t)^2}{2} g"(\xi)$ et donc $G'(t)=\frac{1}{2}g"(\xi)$
Quand $t$ tend vers $\alpha$, $\xi$ tend vers $\alpha$ donc $\lim_{t\to \alpha}G'(t)=\frac{1}{2} g"(\alpha)$
$G'$ est donc continue en $\alpha$ donc continue sur [0,1].
$G$ est donc de classe $C^1$
Comme $G'(t)=\frac{1}{2} g"(\xi)$, on en déduit que pour tout $t$ de [0,1], $|G'(t)|\leq \frac{1}{2} sup_{t\in [0,1]} |g"(t)|=\frac{1}{2} M_2(g)$
(1) (a) $G$ est continue sur $[0,1]/\{\alpha\}$
Puisque $g(\alpha)=0$, $\lim_{t\to \alpha} G(t)=\lim_{t\to \alpha}\frac{g(t)-g(\alpha)}{t-\alpha} =g'(\alpha) =G(\alpha)$ donc $G$ est continue en $\alpha$.
$G$ est donc continue sur [0,1]
Pour $t\neq \alpha$, $G'(t)=\frac{g'(t)(t-\alpha)-g(t)}{(t-\alpha)^2}$ continue sur $[0,1]/\{\alpha\}$
$g$ étant de classe $C^2$, en utilisant la formule de Taylor-Lagrange, on peut écrire : $g(\alpha)=g(t)+(\alpha -t) g'(t) +\frac{(\alpha-t)^2}{2} g"(\xi)$ avec $\xi$ entre $\alpha$ et $t$.
$g(\alpha)=0$ donc $-g(t)+(t-\alpha) g'(t)=\frac{(\alpha-t)^2}{2} g"(\xi)$ et donc $G'(t)=\frac{1}{2}g"(\xi)$
Quand $t$ tend vers $\alpha$, $\xi$ tend vers $\alpha$ donc $\lim_{t\to \alpha}G'(t)=\frac{1}{2} g"(\alpha)$
$G'$ est donc continue en $\alpha$ donc continue sur [0,1].
$G$ est donc de classe $C^1$
Comme $G'(t)=\frac{1}{2} g"(\xi)$, on en déduit que pour tout $t$ de [0,1], $|G'(t)|\leq \frac{1}{2} sup_{t\in [0,1]} |g"(t)|=\frac{1}{2} M_2(g)$
Re: Approximation d'une fonction
Merci pour la réponse, mais le problème c'est que nous n'avons pas encore introduit le développement limité et les propriétés de Taylor-Young...