Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à résoudre ces deux équations différentielles, je vous remercie d'avance pour les éclaircissements:
E) 2y'-5y=3
F)y"+3y'+3y= 4x^2-5x+1
Pour le E j'ai fait:
équation particulière:
2y'-5y=0
dy/y= 5/2
d'où la solution particulière est y= Ce^(5/2)x
après pour la solution générale j'ai fait:
y'= C'e^5/2x+ Ce^^5/2x
d'où 2 (C'e^5/2x+Ce^5/2x)-5(Ce^(5/2)x)= 3
d'où C= intégrale de 3e^(-(5/2)x)
Ce qui donne C= -15/2 e^(-5/2)x
Donc la solution générale c'est la solution particulière plus la solution générale et donc C(e^(5/2)x -15/2e^(-5/2)x)
Pour la F j'ai fait sans second membre
y"+3y'+3y= 4x^2-5x+1
D'abord j'ai résolu y"+3y'+3y= 0
avec X= y' on a delta<0 donc les solutions sont imaginaires r1= -3+ racine(3i)/2 et r2= -3- racine(3i)/2.
Mais après je ne sais pas quoi faire pour trouver le C1 et C2.
Enfin bref, c'est un vrai casse tête et j'ai pas très bien compris la deuxième solution générale pour la question E et tout le truc de second degré pour la question F.
Merci d'avoir lu
Equations différentielles
Re: Equations différentielles
Bonsoir
1) Vous avez mélangé 2 méthodes. Si on veut utiliser la méthode de variation de la constante :
$y'=C'e^{\frac{5}{2} x} +\frac{5}{2} e^{\frac{5}{2} x}$
Ce qui donne : $2C'e^{\frac{5}{2} x} +5Ce^{\frac{5}{2} x}-5Ce^{\frac{5}{2} x}=3$
Donc $C'=\frac{3}{2} e^{-\frac{5}{2} x}$ et $C=-\frac{3}{5} e^{-\frac{5}{2} x} +k$
On a donc comme solution générale : $y=(-\frac{3}{5} e^{-\frac{5}{2} x} +k)e^{\frac{5}{2} x}=-\frac{3}{5} +ke^{\frac{5}{2} x}$ ($k\in {\mathbb R}$)
Ce n'était pas la méthode la plus simple. Dans le cas des équations du type $y'+ay =b$ où $a$ et $b$ sont des réels, une fonction constante est solution.
Si $y$ est une fonction constante, alors $y'=0$ et on a $-5y=3$ soit $y=-\frac{3}{5}$ et il suffit d'ajouter cette solution particulière aux solutions de l'équation sans second membre.
2) Quand les solutions de l'équation caractéristique sont 2 complexes (nécessairement conjugués) : $a+ib$ et $a-ib$ , on a comme solutions de l'équation sans second membre : $y=e^{ax}(\alpha \cos (bx) +\beta \sin (bx))$
Ici cela donne : $y=e^{-\frac{3}{2} x} (\alpha \cos (\frac{\sqrt 3}{2} x) +\beta \sin (\frac{\sqrt 3}{2} x)$
On cherche ensuite une solution particulière et puisque le second membre est une fonction polynomiale du second degré, on a une solution particulière polynomiale du second degré.
On part de $y=ax^2+bx+c$, on calcule $y"+3y'+3y$ et on identifie à $4x^2-5x+1$ ce qui permet de calculer $a, b$ et $c$.
Il reste à ajouter cette solution à la solution générale de l'équation sans second membre.
1) Vous avez mélangé 2 méthodes. Si on veut utiliser la méthode de variation de la constante :
$y'=C'e^{\frac{5}{2} x} +\frac{5}{2} e^{\frac{5}{2} x}$
Ce qui donne : $2C'e^{\frac{5}{2} x} +5Ce^{\frac{5}{2} x}-5Ce^{\frac{5}{2} x}=3$
Donc $C'=\frac{3}{2} e^{-\frac{5}{2} x}$ et $C=-\frac{3}{5} e^{-\frac{5}{2} x} +k$
On a donc comme solution générale : $y=(-\frac{3}{5} e^{-\frac{5}{2} x} +k)e^{\frac{5}{2} x}=-\frac{3}{5} +ke^{\frac{5}{2} x}$ ($k\in {\mathbb R}$)
Ce n'était pas la méthode la plus simple. Dans le cas des équations du type $y'+ay =b$ où $a$ et $b$ sont des réels, une fonction constante est solution.
Si $y$ est une fonction constante, alors $y'=0$ et on a $-5y=3$ soit $y=-\frac{3}{5}$ et il suffit d'ajouter cette solution particulière aux solutions de l'équation sans second membre.
2) Quand les solutions de l'équation caractéristique sont 2 complexes (nécessairement conjugués) : $a+ib$ et $a-ib$ , on a comme solutions de l'équation sans second membre : $y=e^{ax}(\alpha \cos (bx) +\beta \sin (bx))$
Ici cela donne : $y=e^{-\frac{3}{2} x} (\alpha \cos (\frac{\sqrt 3}{2} x) +\beta \sin (\frac{\sqrt 3}{2} x)$
On cherche ensuite une solution particulière et puisque le second membre est une fonction polynomiale du second degré, on a une solution particulière polynomiale du second degré.
On part de $y=ax^2+bx+c$, on calcule $y"+3y'+3y$ et on identifie à $4x^2-5x+1$ ce qui permet de calculer $a, b$ et $c$.
Il reste à ajouter cette solution à la solution générale de l'équation sans second membre.
Re: Equations différentielles
Ah ok merci. Et pour la E, la première équation différentielle 2y'-5y=3, elle est bonne ou pas?
Re: Equations différentielles
Non ce n'était pas bon. $y'$ était mal calculé et la méthode pour conclure n'était pas correctePropolis a écrit :Ah ok merci. Et pour la E, la première équation différentielle 2y'-5y=3, elle est bonne ou pas?
Re: Equations différentielles
Une primitive de 3exp(-5x/2) est -(6/5)exp(-5x/2)
Donc C=-(6/5)exp(-5x/2)
mais après je ne sais pas comment faire.
Donc C=-(6/5)exp(-5x/2)
mais après je ne sais pas comment faire.
Re: Equations différentielles
D'une part on a $C'=\frac{3}{2} e^{-\frac{5}{2} x}$ donc $C=-\frac{3}{5} e^{-\frac{5}{2} x}+k$ et j'ai détaillé la suite dans mon premier message.Propolis a écrit :Une primitive de 3exp(-5x/2) est -(6/5)exp(-5x/2)
Donc C=-(6/5)exp(-5x/2)
mais après je ne sais pas comment faire.
Mais la seconde méthode qui consiste à chercher une solution particulière est nettement plus simple.
Re: Equations différentielles
Pour l'équation 2 en résolvant y"+3y'+3y, j'ai trouvé -3-racine(3i)/2 et -3+ racine(3i)/2.
après faut identifier avec ax^2+ bx+c.
(ax^2+bx +c) ( au fait faut le multiplier par quoi?
après faut identifier avec ax^2+ bx+c.
(ax^2+bx +c) ( au fait faut le multiplier par quoi?
Re: Equations différentielles
Je reprends entièrement.
Les racines de l'équation caractéristique sont $\frac{-3-i\sqrt 3}{2}$ et $\frac{-3+i\sqrt 3}{2}$ (attention à ne pas mettre $i$ sous la racine).
Les solutions de l'équation sans second membre sont les fonctions : $y=e^{-\frac{3}{2} x} (\alpha \cos (\frac{\sqrt 3}{2} x)+\beta \sin (\frac{\sqrt 3}{2} x))$ ($(\alpha,\beta) \in {\mathbb R}^2$)
On cherche ensuite une solution particulière sous la forme d'une fonction polynomiale du second degré.
$y=ax^2+bx+c$ ; $y'=2ax+b$ ; $y"=2a$ ; $y"+3y'+3y=ax^2+(b+2a)x+c+b+2a$
Par identification avec $4x^2-5x+1$, on obtient $\left\{\begin{array}{rcl} a&=&4 \\ b+2a&=&-5 \\ c+b+2a&=&1 \end{array}\right.$ ce qui donne $\left\{\begin{array}{rcl}a&=&4 \\ b&=&-13 \\ c&=&14 \end{array}\right.$
IL suffit alors d'ajouter cette solution particulière, ce qui donne comme solutions de l'équation proposée : $y=e^{-\frac{3}{2} x} (\alpha \cos (\frac{\sqrt 3}{2} x)+\beta \sin (\frac{\sqrt 3}{2} x))+4x^2-13x+14$ ($(\alpha,\beta) \in {\mathbb R}^2$)
Les racines de l'équation caractéristique sont $\frac{-3-i\sqrt 3}{2}$ et $\frac{-3+i\sqrt 3}{2}$ (attention à ne pas mettre $i$ sous la racine).
Les solutions de l'équation sans second membre sont les fonctions : $y=e^{-\frac{3}{2} x} (\alpha \cos (\frac{\sqrt 3}{2} x)+\beta \sin (\frac{\sqrt 3}{2} x))$ ($(\alpha,\beta) \in {\mathbb R}^2$)
On cherche ensuite une solution particulière sous la forme d'une fonction polynomiale du second degré.
$y=ax^2+bx+c$ ; $y'=2ax+b$ ; $y"=2a$ ; $y"+3y'+3y=ax^2+(b+2a)x+c+b+2a$
Par identification avec $4x^2-5x+1$, on obtient $\left\{\begin{array}{rcl} a&=&4 \\ b+2a&=&-5 \\ c+b+2a&=&1 \end{array}\right.$ ce qui donne $\left\{\begin{array}{rcl}a&=&4 \\ b&=&-13 \\ c&=&14 \end{array}\right.$
IL suffit alors d'ajouter cette solution particulière, ce qui donne comme solutions de l'équation proposée : $y=e^{-\frac{3}{2} x} (\alpha \cos (\frac{\sqrt 3}{2} x)+\beta \sin (\frac{\sqrt 3}{2} x))+4x^2-13x+14$ ($(\alpha,\beta) \in {\mathbb R}^2$)