Bonsoir tout le monde,
pourriez-vous m'aider à finir ce dm, à partir de la question 2 s'il-vous plait ? Merci beaucoup
http://hpics.li/f49b631
DM suites
Re: DM suites
Bonjour
(2) (a)
On fait une démonstration par récurrence :
$(w_0)^{\frac{1}{2^0}} =w_0$
On suppose l'inégalité vérifiée au rang $n$ soit $w_n\geq (w_0)^{\frac{1}{2^n}}$
$a_n+w_n\geq a_n +(w_0)^{\frac{1}{2^n}} \geq (w_0)^{\frac{1}{2^n}}$ puisque les termes de la suite sont positifs.
On a alors $w_{n+1} =\sqrt{a_n+w_n}\geq [(w_0)^{\frac{1}{2^n}}]^{\frac{1}{2}}=(w_0)^{\frac{1}{2^{n+1}}}$
L'inégalité est donc vérifiée au rang $n+1$.
* Si $w_0\geq 1$ alors $\forall n \in {\mathbb N}, w_n\geq (w_0)^{\frac{1}{2^n}} \geq 1$
* Si $w_0<1$, alors $\forall n \in {\mathbb N},\ (w_0)^{\frac {1}{2^n}} \geq w_0$ donc $w_n\geq (w_0)^{\frac{1}{2^n}} \geq w_0$
Conclusion : $w_n\geq min(w_0,1)$
(2) (b)
D'après la question 1) $\alpha_a =\sqrt{a+\alpha_a}$
$w_{n+1} -\alpha_a=\sqrt{a_n+w_n} -\sqrt{a+\alpha_a} =\frac{(a_n+w_n) -(a+\alpha_a)}{ \sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}} =\frac{(a_n-a)+(w_n-\alpha_a)}{\sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}}$
$|w_{n+1} -\alpha_a|\leq \frac{|a_n-a|+|w_n-\alpha_n|}{\sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}}$
$\sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}=w_{n+1}+\alpha_a\geq min(w_0,1)+\alpha_a$ donc $\frac{1}{\sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}}\leq \frac{1}{min(w_0,1)+\alpha_a}=q$ d'où la conclusion.
Je continuerai plus tard ou demain, vous pouvez peut-être essayer de daire la question (c) par récurrence.
(2) (a)
On fait une démonstration par récurrence :
$(w_0)^{\frac{1}{2^0}} =w_0$
On suppose l'inégalité vérifiée au rang $n$ soit $w_n\geq (w_0)^{\frac{1}{2^n}}$
$a_n+w_n\geq a_n +(w_0)^{\frac{1}{2^n}} \geq (w_0)^{\frac{1}{2^n}}$ puisque les termes de la suite sont positifs.
On a alors $w_{n+1} =\sqrt{a_n+w_n}\geq [(w_0)^{\frac{1}{2^n}}]^{\frac{1}{2}}=(w_0)^{\frac{1}{2^{n+1}}}$
L'inégalité est donc vérifiée au rang $n+1$.
* Si $w_0\geq 1$ alors $\forall n \in {\mathbb N}, w_n\geq (w_0)^{\frac{1}{2^n}} \geq 1$
* Si $w_0<1$, alors $\forall n \in {\mathbb N},\ (w_0)^{\frac {1}{2^n}} \geq w_0$ donc $w_n\geq (w_0)^{\frac{1}{2^n}} \geq w_0$
Conclusion : $w_n\geq min(w_0,1)$
(2) (b)
D'après la question 1) $\alpha_a =\sqrt{a+\alpha_a}$
$w_{n+1} -\alpha_a=\sqrt{a_n+w_n} -\sqrt{a+\alpha_a} =\frac{(a_n+w_n) -(a+\alpha_a)}{ \sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}} =\frac{(a_n-a)+(w_n-\alpha_a)}{\sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}}$
$|w_{n+1} -\alpha_a|\leq \frac{|a_n-a|+|w_n-\alpha_n|}{\sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}}$
$\sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}=w_{n+1}+\alpha_a\geq min(w_0,1)+\alpha_a$ donc $\frac{1}{\sqrt{a_n+w_n} +\sqrt{a+\alpha_a}}\leq \frac{1}{min(w_0,1)+\alpha_a}=q$ d'où la conclusion.
Je continuerai plus tard ou demain, vous pouvez peut-être essayer de daire la question (c) par récurrence.