Bonjour!
Soient $u_n$ et $v_n$ deux séries à termes strictement positifs.
a) on suppose qu'il existe deux réels m et M strictement positifs et un entier naturel $n_0$ tels que $\forall n\geq n_0$ , $0<m\leq \frac{u_n}{v_n}\leq M$. Montrer que les deux séries sont de même nature.
b) On suppose que $u_n$ ~ $v_n$. Montrer qu'il existe un entier naturel $ n_0$ tel que $\forall n \geq n_0, \frac{1}{2}\leq \frac{u_n}{v_n}\leq \frac{3}{2}$. En déduire que les deux séries sont de même nature.
c) étudier la convergence de la série $u_n=2^nln(1+\frac{1}{3^n})$
Je ne sais pas comment démarrer....
nature de séries
Re: nature de séries
J'ai réussi à faire a) et b) !!!
Par contre je cale sur la c)...
Par contre je cale sur la c)...
Re: nature de séries
Bonjour
a)$\forall n\geq n_0,\ 0<mv_n\leq u_n \leq Mv_n$
Si la série de terme général $v_n$ converge, il en est de même de la série de terme général $Mv_n$ donc, par définition la suite $S_p=\sum_{n=0}^pMv_n$ converge. C'est une suite croissante. Soit L sa limite.
$\sum_{n=0}^{\infty}u_n=\sum_{n=0}^{n_0-1}u_n+\sum_{n=n_0}^{\infty} u_n$ donc la suite de terme général $\sum_{n=0}^p u_n$ est majorée par $(\sum_{n=n_0}^p u_n) +L$ et c'est une suite croissante donc elle converge. On en déduit que la série de terme général $u_n$ converge.
Si Si la série de terme général $v_n$ diverge, il en est de même de la série de terme général $mv_n$ donc, par définition la suite $S_p=\sum_{n=0}^p mv_n$ n'est pas majorée.
Par conséquent, la suite de terme général $\sum_{n=0}^p u_n$ n'est pas majorée puisque, $\forall n\geq n_0,\ 0<mv_n\leq u_n $ et la série de terme général $u_n$ est donc divergente.
On a aussi $\forall n \geq n_0, 0<\frac{1}{M}u_n \leq v_n \leq \frac{1}{m} u_n$. Donc on peut faire le même raisonnement si c'est la nature de $u_n$ que l'on connaît.
b) Si $u_n\sim v_n$ alors $\lim \frac{u_n}{v_n}=1$ donc il existe un entier $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0 \frac{1}{2} \leq \frac{u_n}{v_n} \leq \frac{3}{2}$. On est ainsi ramené au cas précédent et les 2 séries sont donc de même nature.
c) $\ln (1+\frac{1}{3^n})\sim \frac{1}{3^n}$ donc $u_n\sim 2^n\times \frac{1}{3^n}=(\frac{2}{3})^n$
La série de terme général $u_n$ est donc équivalente à une série géométrique convergente donc elle converge.
Remarque : chercher un équivalent est une méthode courante pour justifier la convergence ou la divergence d'une série.
a)$\forall n\geq n_0,\ 0<mv_n\leq u_n \leq Mv_n$
Si la série de terme général $v_n$ converge, il en est de même de la série de terme général $Mv_n$ donc, par définition la suite $S_p=\sum_{n=0}^pMv_n$ converge. C'est une suite croissante. Soit L sa limite.
$\sum_{n=0}^{\infty}u_n=\sum_{n=0}^{n_0-1}u_n+\sum_{n=n_0}^{\infty} u_n$ donc la suite de terme général $\sum_{n=0}^p u_n$ est majorée par $(\sum_{n=n_0}^p u_n) +L$ et c'est une suite croissante donc elle converge. On en déduit que la série de terme général $u_n$ converge.
Si Si la série de terme général $v_n$ diverge, il en est de même de la série de terme général $mv_n$ donc, par définition la suite $S_p=\sum_{n=0}^p mv_n$ n'est pas majorée.
Par conséquent, la suite de terme général $\sum_{n=0}^p u_n$ n'est pas majorée puisque, $\forall n\geq n_0,\ 0<mv_n\leq u_n $ et la série de terme général $u_n$ est donc divergente.
On a aussi $\forall n \geq n_0, 0<\frac{1}{M}u_n \leq v_n \leq \frac{1}{m} u_n$. Donc on peut faire le même raisonnement si c'est la nature de $u_n$ que l'on connaît.
b) Si $u_n\sim v_n$ alors $\lim \frac{u_n}{v_n}=1$ donc il existe un entier $n_0$ tel que $\forall n\geq n_0 \frac{1}{2} \leq \frac{u_n}{v_n} \leq \frac{3}{2}$. On est ainsi ramené au cas précédent et les 2 séries sont donc de même nature.
c) $\ln (1+\frac{1}{3^n})\sim \frac{1}{3^n}$ donc $u_n\sim 2^n\times \frac{1}{3^n}=(\frac{2}{3})^n$
La série de terme général $u_n$ est donc équivalente à une série géométrique convergente donc elle converge.
Remarque : chercher un équivalent est une méthode courante pour justifier la convergence ou la divergence d'une série.
Re: nature de séries
OK! Merci pour ton aide...