Bonsoir, j'ai un problème, je dois prouver que pour tout x appartenant à [-1;1] et pour tout n appartenant à N*
$ | f_{n}(x) -sinx | \leq \frac{ |x|^{3} }{2. 3^{n} } $ sachant que pour tout n>=2, $ f_{n} (x)=3 f_{n-1} ( \frac{x}{3})-4( f_{n-1}( \frac{x}{3}))^{3} $
et j'ai déjà montré que pour tout t appartenant à [-1;1], phi(t)=3t+t^2 était comprise entre [-1;1] et que : $ | \phi (t)- \phi '(t) | \leq 9 |t-t'| $
Pouvez vous m'aider svp ?
Merci d'avance
Théorème d'encadrement
Re: Théorème d'encadrement
Ah mince j'ai oublié de préciser qu'il fallait utiliser la relation : $sin(3x)=3sin(x)-4sin^{3} $ ...
Re: Théorème d'encadrement
Bonjour
Je pense qu'une démonstration par récurrence doit être possible.
$\sin x =3\sin (\frac{x}{3})-4\sin^3(\frac{x}{3})$
$f_n(x)-\sin x =3[f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})] -4[(f_{n-1}(\frac{x}{3}))^3-\sin^3(\frac{x}{3})]$
$f_n(x)-\sin x =[f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})][3-4((f_{n-1}(\frac{x}{3}))^2+f_{n-1}(\frac{x}{3}) \sin(\frac{x}{3})+\sin^2 (\frac{x}{3}))]$
En supposant l'inégalité vérifiée au rang $n-1$, $|f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})|\leq \frac{\frac{|x|^3}{3^3}}{2\times 3^{n-1}}=\frac{|x|^3}{2\times 3^{n+2}}$
Il faudrait alors montrer que le second facteur est inférieur à 9 mais là je suis bloquée, je ne dispose pas suffisamment d'éléments du problème.
D'autre part dans la relation indiquée sur la fonction $\phi$, je pense que c'est $\phi(t')$ et non $\phi'(t))$
Je pense qu'une démonstration par récurrence doit être possible.
$\sin x =3\sin (\frac{x}{3})-4\sin^3(\frac{x}{3})$
$f_n(x)-\sin x =3[f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})] -4[(f_{n-1}(\frac{x}{3}))^3-\sin^3(\frac{x}{3})]$
$f_n(x)-\sin x =[f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})][3-4((f_{n-1}(\frac{x}{3}))^2+f_{n-1}(\frac{x}{3}) \sin(\frac{x}{3})+\sin^2 (\frac{x}{3}))]$
En supposant l'inégalité vérifiée au rang $n-1$, $|f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})|\leq \frac{\frac{|x|^3}{3^3}}{2\times 3^{n-1}}=\frac{|x|^3}{2\times 3^{n+2}}$
Il faudrait alors montrer que le second facteur est inférieur à 9 mais là je suis bloquée, je ne dispose pas suffisamment d'éléments du problème.
D'autre part dans la relation indiquée sur la fonction $\phi$, je pense que c'est $\phi(t')$ et non $\phi'(t))$
Re: Théorème d'encadrement
Ok merci. Oui en effet c'est phi(t') désolée par contre pour les éléments je ne vous ai juste pas dit que phi(t)=3t-4t^3 et f1(x)=x
Re: Théorème d'encadrement
Avec cette définition de $\phi^, ça va beaucoup mieux. Je conserve le début de ma démonstration.
Je pense que tu as dû démontrer précédemment que sur l'intervalle $[-1,1]$, pour tout $n\geq 1$, $f_n(x)\in [-1,1]$. On peut donc poser $t=f_{n-1}(\frac{x}{3})$ et $t'=\sin (\frac{x}{3})$ et à partir de l'inégalité établie avant on a donc :
$|f_n(x)-\sin x|=|\phi (f_{n-1}(\frac{x}{3}))-\phi(\sin (\frac{x}{3}))|\leq 9(|f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})|)$
$f_n(x)-\sin x=[3f_{n-1}(\frac{x}{3}) -4(f_{n-1}(\frac{x}{3}))^3]-(3\sin (\frac{x}{3})-4\sin^3(\frac{x}{3})]=\phi (f_{n-1}(\frac{x}{3}))-\phi(\sin (\frac{x}{3}))$Job a écrit : Je pense qu'une démonstration par récurrence doit être possible.
$\sin x =3\sin (\frac{x}{3})-4\sin^3(\frac{x}{3})$
$f_n(x)-\sin x =3[f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})] -4[(f_{n-1}(\frac{x}{3}))^3-\sin^3(\frac{x}{3})]$
Je pense que tu as dû démontrer précédemment que sur l'intervalle $[-1,1]$, pour tout $n\geq 1$, $f_n(x)\in [-1,1]$. On peut donc poser $t=f_{n-1}(\frac{x}{3})$ et $t'=\sin (\frac{x}{3})$ et à partir de l'inégalité établie avant on a donc :
$|f_n(x)-\sin x|=|\phi (f_{n-1}(\frac{x}{3}))-\phi(\sin (\frac{x}{3}))|\leq 9(|f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})|)$
On a donc alors $|f_n(x)-\sin x|\leq 9\times \frac{|x|^3}{2\times 3^{n+2}}=\frac{|x|^3}{2\times 3^n}$En supposant l'inégalité vérifiée au rang $n-1$, $|f_{n-1}(\frac{x}{3})-\sin (\frac{x}{3})|\leq \frac{\frac{|x|^3}{3^3}}{2\times 3^{n-1}}=\frac{|x|^3}{2\times 3^{n+2}}$