SUITE
Re: SUITE
Bonjour
Exercice 1
1) Soit L la limite de la suite $(u_n)$ et $\epsilon >0$
Il existe un entier $N$ tel que $\displaystyle \forall n\geq N,\ |u_n-L|<\frac{\epsilon}{2}$
Soit $p$ et $q$ supérieurs à N :
$\displaystyle |u_p-u_q|=|(u_p-L)-(u_q-L)|\leq |u_p-L|+|u_q-L|<\frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$
Donc la suite est de Cauchy.
2) Il existe un entier $N$ tel que pour $p$ et $q$ supérieurs ou égaux à $N$, $|u_p-u_q|\leq 1$
En particulier $|u_p|=|u_N+(u_p-u_N)|\leq |u_N|+1$
Donc $\forall n\in {\mathbb N},\ |u_n||\leq Max (|u_N|+1,u_0, u_1,\cdots |u_{N-1}|)$
3) Si $p\geq n,\ A_n= \{u_n, \cdots , u_p, \cdots \}$
$A_p\subset A_n$. Donc $\alpha_p\leq \alpha_n$ et $\beta_n\geq \beta_p$
La suite $(\alpha_n)$ est donc croissante et la suite $\beta_n$ est décroissante.
Comme la suite est de Cauchy, pour $n$ suffisamment grand, $|\beta_n-\alpha_n|<\epsilon.$
Exercice 1
1) Soit L la limite de la suite $(u_n)$ et $\epsilon >0$
Il existe un entier $N$ tel que $\displaystyle \forall n\geq N,\ |u_n-L|<\frac{\epsilon}{2}$
Soit $p$ et $q$ supérieurs à N :
$\displaystyle |u_p-u_q|=|(u_p-L)-(u_q-L)|\leq |u_p-L|+|u_q-L|<\frac{\epsilon}{2} +\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$
Donc la suite est de Cauchy.
2) Il existe un entier $N$ tel que pour $p$ et $q$ supérieurs ou égaux à $N$, $|u_p-u_q|\leq 1$
En particulier $|u_p|=|u_N+(u_p-u_N)|\leq |u_N|+1$
Donc $\forall n\in {\mathbb N},\ |u_n||\leq Max (|u_N|+1,u_0, u_1,\cdots |u_{N-1}|)$
3) Si $p\geq n,\ A_n= \{u_n, \cdots , u_p, \cdots \}$
$A_p\subset A_n$. Donc $\alpha_p\leq \alpha_n$ et $\beta_n\geq \beta_p$
La suite $(\alpha_n)$ est donc croissante et la suite $\beta_n$ est décroissante.
Comme la suite est de Cauchy, pour $n$ suffisamment grand, $|\beta_n-\alpha_n|<\epsilon.$
Re: SUITE
Exercice 2
1) Une récurrence permet de montrer que les termes de la suite sont strictement positifs.
2) Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\ln (u_n)$
on a donc $v_{n+2}=\frac{1}{2} (v_{n+1}+v_n)$ soit $v_{n+2}-\frac{1}{2} v_{n+1}-\frac{1}{2} v_n=0$
C'est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 d'équation caractéristique $r^2-\frac{1}{2} r -\frac{1}{2} =0$
L'équation caractéristique a 2 racines : 1 et $-\frac{1}{2}$
Donc $v_n=\lambda +\mu (-\frac{1}{2})^n$
De $v_0=0$ et $v_1=\ln 2$ on déduit $\lambda +\mu =0$ et $\lambda -\frac{1}{2} \mu =\ln 2$
Donc $\lambda =\frac{2}{3} \ln 2$ et $\mu =-\frac{2}{3} \ln 2$
$v_n=\frac{2}{3} \ln 2 ( 1-(-\frac{1}{2})^n)$
$(v_n)$ converge vers $\frac{2}{3} \ln 2$ et $u_n=e^{v_n}$ converge vers $2^{\frac{2}{3}}$
1) Une récurrence permet de montrer que les termes de la suite sont strictement positifs.
2) Soit la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\ln (u_n)$
on a donc $v_{n+2}=\frac{1}{2} (v_{n+1}+v_n)$ soit $v_{n+2}-\frac{1}{2} v_{n+1}-\frac{1}{2} v_n=0$
C'est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 d'équation caractéristique $r^2-\frac{1}{2} r -\frac{1}{2} =0$
L'équation caractéristique a 2 racines : 1 et $-\frac{1}{2}$
Donc $v_n=\lambda +\mu (-\frac{1}{2})^n$
De $v_0=0$ et $v_1=\ln 2$ on déduit $\lambda +\mu =0$ et $\lambda -\frac{1}{2} \mu =\ln 2$
Donc $\lambda =\frac{2}{3} \ln 2$ et $\mu =-\frac{2}{3} \ln 2$
$v_n=\frac{2}{3} \ln 2 ( 1-(-\frac{1}{2})^n)$
$(v_n)$ converge vers $\frac{2}{3} \ln 2$ et $u_n=e^{v_n}$ converge vers $2^{\frac{2}{3}}$