Bonjour!
En utilisant le critère de d’Alembert, la série $u_n=2n^²q^{n-1}$ converge si |q| <1.
Par contre, je n'arrive pas à trouver sa somme?
Série u(n)=2n²q^(n-1)
Re: Série u(n)=2n²q^(n-1)
Bonjour
D'accord pour la justification de la convergence.
$\sum_{n=0}^{+\infty} q^{n+1} =q\sum_{n=0}^{+\infty} q^n =q\times \frac{1}{1-q}$
On dérive les 2 membres : $\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)q^n =\frac{1-q+q}{(1-q)^2}=\frac{1}{(1-q)^2}$
On dérive à nouveau : $\sum_{n=1}^{+\infty}(n+1)n q^{n-1}=\frac{-2(-1)(1-q)}{(1-q)^4}=\frac{2}{(1-q)^3}$
On en déduit : $\sum_{n=1}^{+\infty}n^2q^{n-1}=\frac{2}{(1-q)^3} -\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}$
Pour calculer cette nouvelle somme on part de : $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$
On dérive : $\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$
On a donc $\sum_{n=1}^{+\infty}2n^2q^{n-1}=2[\frac{2}{(1-q)^3} -\frac{1}{(1-q)^2}]=2\times \frac{1+q}{(1-q)^3}$
(On retrouve ce genre de calculs dans certains exercices de probabilités)
D'accord pour la justification de la convergence.
$\sum_{n=0}^{+\infty} q^{n+1} =q\sum_{n=0}^{+\infty} q^n =q\times \frac{1}{1-q}$
On dérive les 2 membres : $\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)q^n =\frac{1-q+q}{(1-q)^2}=\frac{1}{(1-q)^2}$
On dérive à nouveau : $\sum_{n=1}^{+\infty}(n+1)n q^{n-1}=\frac{-2(-1)(1-q)}{(1-q)^4}=\frac{2}{(1-q)^3}$
On en déduit : $\sum_{n=1}^{+\infty}n^2q^{n-1}=\frac{2}{(1-q)^3} -\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}$
Pour calculer cette nouvelle somme on part de : $\sum_{n=0}^{+\infty}q^n=\frac{1}{1-q}$
On dérive : $\sum_{n=1}^{+\infty}nq^{n-1}=\frac{1}{(1-q)^2}$
On a donc $\sum_{n=1}^{+\infty}2n^2q^{n-1}=2[\frac{2}{(1-q)^3} -\frac{1}{(1-q)^2}]=2\times \frac{1+q}{(1-q)^3}$
(On retrouve ce genre de calculs dans certains exercices de probabilités)
Re: Série u(n)=2n²q^(n-1)
Bonjour!
Je comprends pourquoi je n'ai pas trouvé cette somme...
Si on n'a jamais vu cette méthode une fois dans sa vie, c'est introuvable pour un petit agro-véto moyen!!!
En tout cas merci pour la clarté de tes explications....
En cours commence, les probas: c'est pour ça que l'on a une planche d'une vingtaines d'exos sur les séries...
Je vais essayer d'avancer avec ces techniques. A bientôt.
Je comprends pourquoi je n'ai pas trouvé cette somme...
Si on n'a jamais vu cette méthode une fois dans sa vie, c'est introuvable pour un petit agro-véto moyen!!!
En tout cas merci pour la clarté de tes explications....
En cours commence, les probas: c'est pour ça que l'on a une planche d'une vingtaines d'exos sur les séries...
Je vais essayer d'avancer avec ces techniques. A bientôt.