Bonjour, je voudrais avoir des explications claires sur la résolution des équations et inéquations paramétriques
Exemple Résoudre dans IR les équations et inéquations suivantes:
1°/ √(3x^2 -7x + m^2 - m +3) =2x-3
2°/ √(2x^2 -x + m) ≥ x-1
3°/ √[(m-1)x²+mx+1] < 2x+1
Merci à l'avance pour votre compréhension
équation et inéquation paramétrique
Re: équation et inéquation paramétrique
Bonjour
Je résous l'équation
1) Il faut d'abord déterminer l'ensemble de définition de l'équation en discutant suivant les valeurs de $m$.
L'équation est définie si $P(x)=3x^2-7x+m^2-m+3\geq 0$
$\Delta =4(-12m^2-12m+85)$ . On cherche les racines de ce trinôme, j'ai trouvé : $-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{66}}3$
2 cas sont à envisager.
Premier cas : Si $m\in ]-\infty , -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3}] \cup [-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3} ,+\infty[$ , alors $\Delta\leq 0$ donc $\forall x\in {\mathbb R},\ P(x)\geq 0$. L'équation est donc définie sur ${\mathbb R}$.
Deuxième cas : Si $m\in ] -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3} , -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3}[ $ alors $\Delta >0$ donc $P(x)>0$ entre ses racines : $x_1=\frac{7-\sqrt {\Delta}}{6}$ et $x_2=\frac{7+\sqrt{\Delta}}{6}$
L'équation est alors définie sur $]-\infty , \frac{7-\sqrt{\Delta}}{6}[\cup ]\frac{7+\sqrt {\Delta}}{6} , +\infty[$
2) Résolution
Il faut bien sûr élever au carré mais il n'y a équivalence entre $a=b$ et $a^2=b^2$ que si $a$ et $b$ sont de même signe.
L'équation donnée équivaut donc à $\left\{\begin{array}{r c l} 3x^2-7x+m^2-m+3 &=&4x^2-12x+9 \\ 2x-3&\geq& 0 \end{array}\right.$
Résolution de l'équation : $-x^2+5x+m^2-m-6=0$ : $\Delta =(2m-1)^2$ ; $x_1=m+2$ ; $x_2=-m+3$
$x_1$ est acceptable si $m+2\geq \frac{3}{2}$ soit $m\geq -\frac{1}{2}$
$x_2$ est acceptable si $-m+3\geq \frac{3}{2}$ soit $m\leq \frac{3}{2}$
3) Bilan (en distinguant les 2 cas correspondant à l'ensemble de définition)
Premier cas : $m\in ]-\infty , -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3}] \cup [-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3} ,+\infty[$
$x_1$ est solution si $m\in [-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3} ,+\infty[$
$x_2$ est solution si $m\in ]-\infty , -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3}] \cup [-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3} ,\frac{3}{2}]$
Deuxième cas : $m\in ]-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{66}}{3} , -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3}[$
Pour la condition $2x-3\geq 0$, $x_1$ est acceptable si $m\in [-\frac{1}{2} , -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3}[$ et $x_2$ est acceptable si $m\in ]-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3} , \frac{3}{2}]$
$x_1$ et $x_2$ sont solutions si elles appartiennent à l'ensemble de définition.
Je résous l'équation
1) Il faut d'abord déterminer l'ensemble de définition de l'équation en discutant suivant les valeurs de $m$.
L'équation est définie si $P(x)=3x^2-7x+m^2-m+3\geq 0$
$\Delta =4(-12m^2-12m+85)$ . On cherche les racines de ce trinôme, j'ai trouvé : $-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{66}}3$
2 cas sont à envisager.
Premier cas : Si $m\in ]-\infty , -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3}] \cup [-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3} ,+\infty[$ , alors $\Delta\leq 0$ donc $\forall x\in {\mathbb R},\ P(x)\geq 0$. L'équation est donc définie sur ${\mathbb R}$.
Deuxième cas : Si $m\in ] -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3} , -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3}[ $ alors $\Delta >0$ donc $P(x)>0$ entre ses racines : $x_1=\frac{7-\sqrt {\Delta}}{6}$ et $x_2=\frac{7+\sqrt{\Delta}}{6}$
L'équation est alors définie sur $]-\infty , \frac{7-\sqrt{\Delta}}{6}[\cup ]\frac{7+\sqrt {\Delta}}{6} , +\infty[$
2) Résolution
Il faut bien sûr élever au carré mais il n'y a équivalence entre $a=b$ et $a^2=b^2$ que si $a$ et $b$ sont de même signe.
L'équation donnée équivaut donc à $\left\{\begin{array}{r c l} 3x^2-7x+m^2-m+3 &=&4x^2-12x+9 \\ 2x-3&\geq& 0 \end{array}\right.$
Résolution de l'équation : $-x^2+5x+m^2-m-6=0$ : $\Delta =(2m-1)^2$ ; $x_1=m+2$ ; $x_2=-m+3$
$x_1$ est acceptable si $m+2\geq \frac{3}{2}$ soit $m\geq -\frac{1}{2}$
$x_2$ est acceptable si $-m+3\geq \frac{3}{2}$ soit $m\leq \frac{3}{2}$
3) Bilan (en distinguant les 2 cas correspondant à l'ensemble de définition)
Premier cas : $m\in ]-\infty , -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3}] \cup [-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3} ,+\infty[$
$x_1$ est solution si $m\in [-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3} ,+\infty[$
$x_2$ est solution si $m\in ]-\infty , -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3}] \cup [-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3} ,\frac{3}{2}]$
Deuxième cas : $m\in ]-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{66}}{3} , -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3}[$
Pour la condition $2x-3\geq 0$, $x_1$ est acceptable si $m\in [-\frac{1}{2} , -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{66}}{3}[$ et $x_2$ est acceptable si $m\in ]-\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{66}}{3} , \frac{3}{2}]$
$x_1$ et $x_2$ sont solutions si elles appartiennent à l'ensemble de définition.
Re: équation et inéquation paramétrique
Merci beaucoup, et pour l'équation 3x^2 -7x + m^2 - m +3 j'ai trouvé délta = -12m^2 + 12m + 13 et m1=1/2 +2√3/3 et m2= m1=1/2 - 2√3/3
Re: équation et inéquation paramétrique
Effectivement vous avez raison donc dans les calculs, il faut remplacer les racines que j'ai trouvées par celles que vous avez.syne1 a écrit :Merci beaucoup, et pour l'équation 3x^2 -7x + m^2 - m +3 j'ai trouvé délta = -12m^2 + 12m + 13 et m1=1/2 +2√3/3 et m2= m1=1/2 - 2√3/3
Résolution de la première inéquation
1) Ensemble de définition.
On doit avoir $2x^2-x+m\geq 0$
$\Delta =1-8m$
a) Si $1-8m\leq 0$ soit $m\geq \frac{1}{8}$ alors le trinôme est toujours positif. L'inéquation est définie sur $\mathbb R$
b) Si $1-8m>0$ soit $m<\frac{1}{8}$ alors l'inéquation est définie sur $D=]-\infty , \frac{1-\sqrt{1-8m}}{4}[ \cup ]\frac{1+\sqrt{1-8m}}{4}, +\infty[$
2) Résolution de l'inéquation.
a) Si $x-1\leq 0$ soit $x\leq 1$ alors le premier membre étant positif et le second négatif, l'inéquation est vérifiée.
b) Si $x-1>0$ soit $x>1$, les 2 membres étant positifs, on élève au carré.
$2x^2-x+m\geq x^2-2x+1$ soit $x^2+x+m-1\geq 0$
$\Delta=-4m+5$
* Si $m\geq \frac{5}{4}$ le discriminant est négatif, l'inéquation est vérifiée pour tout réel $x>1$
* Si $m<\frac{5}{4}$ l'inéquation est vérifiée sur $D'=]-\infty , \frac{-1-\sqrt{-4m+5}}{2}[ \cup ]\frac{-1+\sqrt{-4m+5}}{2} , +\infty[$
3) Bilan
* Si $m<\frac{1}{8}$, l'inéquation est vérifiée sur $(D\cap ]-\infty,1])\cup (D\cap D')$
* Si $\frac{1}{8}\leq m<\frac{5}{4}$, l'inéquation est vérifiée sur $]-\infty ,1]\cup D'$
* Si $m\geq \frac{5}{4}$, l'inéquation est vérifiée sur $\mathbb R$.