minimum

[mt2sr]

Bonsoir,
Démontrer que le minimum de $|x-1|+...+|x-n|$ est $E\left ( \frac{n+1}{2} \right )\times E\left ( \frac{n}{2} \right )$

[Job]

Bonjour

La fonction est une fonction continue affine par intervalle.

Pour $k=1,\cdots , n-1$ et $\forall x \in [k , k+1]$, $f(x)=kx-\sum_{j=1}^k j +\sum_{j=k+1}^n j -(n-k)x=(2k-n)x +\frac{n^2+n}{2} -(k^2+k)$

Sur $[k,k+1]$ $f$ est :
- strictement décroissante si $k<\frac{n}{2}$
- constante si $k=\frac{n}{2}$
- strictement croissante si $k>\frac{n}{2}$

D'autre part, $f$ est strictement décroissante dur $]-\infty , 1]$ et strictement croissante sur $[n, +\infty[$

À partir de là, on distingue 2 cas.

1) n pair

$f$ est minimale en tout point de $[\frac{n}{2} , \frac{n}{2}+1]$ et la valeur du minimum est égale à $\frac{n^2+n}{2} -(\frac{n^2}{4} +\frac{n}{2})=\frac{n^2}{4}=E(\frac{n}{2})\times E(\frac{n+1}{2})$

2) n impair

$f$ est strictement décroissante sur $]-\infty , E(\frac{n}{2})+1]$ et strictement croissante sur $[E(\frac{n}{2})+1 , +\infty[$

En posant $n=2p+1$, le minimum est donc atteint pour $x=k=p+1$

$f(p+1)=1\times (p+1) +\frac{(2p+1)^2 +(p+1)}{2}- [(p+1)^2+p+1]=p+1+p^2-1=p(p+1)=E(\frac{n}{2})\times E(\frac{n+1}{2})$

[mt2sr]

bonjour
merci pour la réponse