Bonsoir, j'ai un petit problème dans la fin d'un exercice.
J'ai le fonction g $\frac{1+x}{1+ e^{x} }$ dont j'ai étudié les variations et j'ai montré que $ \frac{1}{2} < x_{o} < 1$, x0 étant la solution de g(x)=x
Après on à la suite $ U_{n+1}=g( U_{n} ) $ et j'ai montré que $\frac{1}{2} \leq U_{n} \leq x_{0} $ et que la suite est croissante et converge vers $ x_{0} $
Mais ensuite je dois montrer que pour tout x appartenant à $[ \frac{1}{2}; x_{0} ]$, $ \mid g'(x) \mid \leq \frac{1}{8} $ et ensuite que pour tout n appartenant à N* $ \mid U_{n}- x_{0} \mid \leq (\frac{1}{8})^{n-1} x \frac{1}{2} $
et là je bloque ...
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance
Fonction avec suite
Re: Fonction avec suite
Bonsoir
Pour majorer $|g'(x)|$ sur $[\frac{1}{2} , x_0]$ il faudrait calculer $g"(x)$ pour étudier les variations de $g'$ sur $[\frac{1}{2} , x_0]$ mais j'arrive à un résultat qui n'est guère concluant. N'y-a-t-il pas une faute dans l'écriture de $g(x)$.
Pour la suite on utilise l'inégalité des accroissements finis . Tous les termes de la suite appartenant à l'intervalle sur $[\frac{1}{2} , x_0]$, on a donc en utilisant la majoration de $|g'(x)|$ :
$|g(U_n)-g(x_0)|\leq \frac{1}{8} |U_n-x_0|$
Soit $|U_{n+1}-x_0|\leq \frac{1}{8} |U_n-x_0|$
Je présume qu'on avait $U_1=\frac{1}{2}$. On fait ensuite une récurrence facile avec l'inégalité précédente.
Pour majorer $|g'(x)|$ sur $[\frac{1}{2} , x_0]$ il faudrait calculer $g"(x)$ pour étudier les variations de $g'$ sur $[\frac{1}{2} , x_0]$ mais j'arrive à un résultat qui n'est guère concluant. N'y-a-t-il pas une faute dans l'écriture de $g(x)$.
Pour la suite on utilise l'inégalité des accroissements finis . Tous les termes de la suite appartenant à l'intervalle sur $[\frac{1}{2} , x_0]$, on a donc en utilisant la majoration de $|g'(x)|$ :
$|g(U_n)-g(x_0)|\leq \frac{1}{8} |U_n-x_0|$
Soit $|U_{n+1}-x_0|\leq \frac{1}{8} |U_n-x_0|$
Je présume qu'on avait $U_1=\frac{1}{2}$. On fait ensuite une récurrence facile avec l'inégalité précédente.
Re: Fonction avec suite
Ok merci mais après vérification la fonction g est bien la bonne.
Re: Fonction avec suite
J'ai calculé $g'(x)=\frac{1-xe^x}{(1+e^x)^2}$ et $g"(x)=\frac{-e^x[(1-x)e^x+x+3]}{(1+e^x)^3}$
Sur l'intervalle $[\frac{1}{2},x_0]$, l'expression entre crochets est positive donc $g"(x)<0$ sur l'intervalle $[\frac{1}{2},x_0]$ et $g'$ est donc décroissante sur cet intervalle.
Or $g'(x_0)=0$ donc $g'$ est positive sur l'intervalle $[\frac{1}{2},x_0]$ et atteint son maximum en $\frac{1}{2}$. Donc $g'(x)$ est majoré par $g'(\frac{1}{2})$ et $g'(\frac{1}{2})<\frac{1}{8}$
Sur l'intervalle $[\frac{1}{2},x_0]$, l'expression entre crochets est positive donc $g"(x)<0$ sur l'intervalle $[\frac{1}{2},x_0]$ et $g'$ est donc décroissante sur cet intervalle.
Or $g'(x_0)=0$ donc $g'$ est positive sur l'intervalle $[\frac{1}{2},x_0]$ et atteint son maximum en $\frac{1}{2}$. Donc $g'(x)$ est majoré par $g'(\frac{1}{2})$ et $g'(\frac{1}{2})<\frac{1}{8}$