Bonjour
Soit $ (a_n)$ et $ (b_n)$ deux suites à termes positifs telles que $ \lim (a_n)^n = a >0$ et $ \lim(b_n)^n = b > 0 $ et $ p, q$ deux réels $ > 0$ tels que $ p+q = 1$.
Quelle est la nature de la suite $ (p.a_n +q.b_n)^n$.
suite
Re: suite
Bonjour
J'utilise les développements limités.
$\lim a_n^n=a$ donc $a_n^n=a+\epsilon_n$ avec $\lim \epsilon_n=0$
$\ln a_n^n=n\ln a_n=\ln (a+\epsilon_n)$ donc $\ln a_n=\frac{1}{n} \ln (a+\epsilon_n)$
$\frac{1}{n} \ln (a+\epsilon_n)=\frac{1}{n} [\ln (a(1+\frac{\epsilon_n}{a})]=\frac{1}{n} [\ln a +\ln (1+\frac{\epsilon_n}{a})]=\frac{1}{n} [\ln a +\frac{\epsilon_n}{a}+o(\frac{\epsilon_n}{a})]$
$a_n=e^{\frac{1}{n}[\ln a +\frac{\epsilon_n}{a}+o(\frac{\epsilon_n}{a})]}=1+\frac{\ln a}{n}+o(\frac{1}{n})$
On aurait de même $b_n=1+\frac{\ln b}{n} +o(\frac{1}{n})$
$(pa_n+qb_n)^n =(1+\frac{p\ln a +q\ln b}{n}+o(\frac{1}{n}))^n=(1+\frac{\ln (a^pb^q)}{n}+o(\frac{1}{n}))^n=\exp [n\ln [1+\frac{\ln (a^pb^q)}{n}+o(\frac{1}{n})]$
$(pa_n+qb_n)^n=\exp[\ln (a^pb^q)+o(1)]$
Donc la suite $((pa_n+qb_n)^n)$ converge vers $a^pb^q$
J'utilise les développements limités.
$\lim a_n^n=a$ donc $a_n^n=a+\epsilon_n$ avec $\lim \epsilon_n=0$
$\ln a_n^n=n\ln a_n=\ln (a+\epsilon_n)$ donc $\ln a_n=\frac{1}{n} \ln (a+\epsilon_n)$
$\frac{1}{n} \ln (a+\epsilon_n)=\frac{1}{n} [\ln (a(1+\frac{\epsilon_n}{a})]=\frac{1}{n} [\ln a +\ln (1+\frac{\epsilon_n}{a})]=\frac{1}{n} [\ln a +\frac{\epsilon_n}{a}+o(\frac{\epsilon_n}{a})]$
$a_n=e^{\frac{1}{n}[\ln a +\frac{\epsilon_n}{a}+o(\frac{\epsilon_n}{a})]}=1+\frac{\ln a}{n}+o(\frac{1}{n})$
On aurait de même $b_n=1+\frac{\ln b}{n} +o(\frac{1}{n})$
$(pa_n+qb_n)^n =(1+\frac{p\ln a +q\ln b}{n}+o(\frac{1}{n}))^n=(1+\frac{\ln (a^pb^q)}{n}+o(\frac{1}{n}))^n=\exp [n\ln [1+\frac{\ln (a^pb^q)}{n}+o(\frac{1}{n})]$
$(pa_n+qb_n)^n=\exp[\ln (a^pb^q)+o(1)]$
Donc la suite $((pa_n+qb_n)^n)$ converge vers $a^pb^q$
