exercce noté difficile par le prof sur la récurrence

[Propolis]

Bonjour,
Voilà j'essaye un exercice noté difficile sur la récurrence et je dois dire que tout va bien pour l'initialisation mais pour ensuite retrouver la forme n pour revenir à ce que l'on sait déjà c'est dur.
1. Quelque soit n >2 (n+1)^n< (n+1) n^n
2. Quelque soit n>2 n^n< (n!)^2

1. pour no=3
(4)^3=64
(4) 3^3= 108
donc vrai pour no
Supposons que l'hypothèse est vraie pour tout n
(n+2)^(n+1)<(n+2) (n+1)^(n+1)
(n+2)^n * (n+2)< (n+2) (n+1)^n * (n+1)
mais après je ne sais pas comment décomposer plus pour retrouver l'égalité de départ avec les nouveaux trucs pour partir de ce qu'on sait déjà et dire or donc.

Pareil pour la 2
Pour no=3
3^3=27
(3!)^2=36
Donc vrai pour no
Supposons que l'hypothèse est vraie pour tout n
(n+1)^(n+1)<(n+1!)^2
(n+1)^n (n+1)< [(n+1)(n!)]^2
Bon là je rencontre le même problème que dans la 1
du mal à retrouver les éléments de départ en décomposant n+1

Merci d'avance pour éclairer ma lanterne

[Job]

1) On suppose l'inégalité vérifiée à un rang $n$ fixé ($n>2$. (Attention à ne pas écrire "pour tout n", c'est une grosse faute de rédaction car cela revient à admettre la conclusion).

L'inégalité hypothèse équivaut à $(\frac{n+1}{n})^n<n+1=(1+\frac{1}{n})^n<n+1$.

Il faut démontrer que $(\frac{n+2}{n+1})^{n+1}<n+2$

$(\frac{n+2}{n+1})^{n+1}=(1+\frac{1}{n+1})^{n+1} =(1+\frac{1}{n+1})^n (1+\frac{1}{n+1})<(1+\frac{1}{n})^n (1+\frac{1}{n+1})$

En utilisant l'hypothèse de récurrence, on a alors $(1+\frac{1}{n})^n (1+\frac{1}{n+1})<(n+1)(1+\frac{1}{n+1})=n+1+1=n+2$ ce qui termine la démonstration.

2) On suppose vérifiée l'inégalité $ n^n<(n!)^2$ pour $n$ fixé ($n>2$).
On utilise l'inégalité démontrée en 1) puis l'hypothèse de récurrence.

$(n+1)^{n+1}=(n+1)(n+1)^n < (n+1)(n+1) n^n<(n+1)^2 (n!)^2=((n+1)!)^2$

[Propolis]

Dans la première question je comprends le développement de la partie gauche avec n+1 mais Il y a un truc qui me bloque c'est d'où tu es parti pour trouver < (1+(1/n))^n (1+( 1/(n+1))) dans la partie droite.

[Job]

Dans la première question je comprends le développement de la partie gauche avec n+1 mais Il y a un truc qui me bloque c'est d'où tu es parti pour trouver < (1+(1/n))^n (1+( 1/(n+1))) dans la partie droite.

$\frac{n+1}{n}=\frac{n}{n} +\frac{1}{n} =1+\frac{1}{n}$

$\frac{n+2}{n+1}=\frac{n+1+1}{n+1} =\frac{n+1}{n+1} +\frac{1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$

Et comme $n+1>n$ alors $\frac{1}{n+1} <\frac{1}{n}$

[Propolis]

Et pour la deuxième question comment tu es arrivé à (n+1) (n+1)^n<(n+1) (n+1) n^n
c'est quoi les formules mathématiques pour y arriver pour?

[Job]

Et pour la deuxième question comment tu es arrivé à (n+1) (n+1)^n<(n+1) (n+1) n^n
c'est quoi les formules mathématiques pour y arriver pour?

J'ai utilisé l'inégalité démontrée à la première question.

[Propolis]

sauf que là je suis un peu plus perdu avec les n! donc si tu pouvais détailler le calcul parce que j'ai du mal.
Sinon tant pis après tout c'est juste un exo d'approfondissement

[Job]

$(n+1)^{n+1}=(n+1)(n+1)^n$ pour ça pas de problème.

Dans l'exercice 1 on a l'inégalité $(n+1)^n<(n+1)n^n$

J'utilise cette inégalité : $(n+1)(n+1)^n<(n+1)(n+1)n^n=(n+1)^2 n^n$

Par hypothèse de récurrence : $n^n<(n!)^2$ donc $(n+1)^2 n^n<(n+1)^2(n!)^2$

$(n+1)^2 (n!)^2 =[(n+1)n! ][(n+1)n!]=(n+1)!(n+1)!=((n+1)!)^2$

La suite d'inégalités conduit donc au résultat au rang ^(n+1)$