Les propositions sont-elles vraies?

[Propolis]

Bonjour à tous,
J'ai fait un exercice et je voulais savoir si c'était bon.
1. Il existe x appartenant à R tel que x^2-1<0

1.x^2<1 d'où x < -1, x<1, x< racine(1), x < -racine(1)
Donc il n'existe pas un x mais 4 x donc faux.

2. Pour tout x appartenant à R, x^2-1<0
Faux car pour tout x # 0, x^2-1>0.

3. Pour tout x appartenant à R, (3x+5)/(x^2+4) appartient à R.
Vrai car x^2+4 n'a pas de racine.

4. Pour tout x appartenant à R, (3x+5)/ (x+4) appartient à R
Faux car pour x= -4,(3x+5)/ (x+4) n'appartient pas à R

5. Pour tout x appartenant à N il existe y appartenant à N tel que x<y
Vrai N c'est tous les entiers positifs donc ils peuvent aller à l'infini à partir de 0.

6. Il existe y appartenant à N tel que pour tout x appartenant à N, x<y
Faux. Car tout x n'est pas inférieur à un élément y. Prenons 5, il y a 4 x inférieurs à 5 {0,1,2,3,4} mais tous les autres x sont au-dessus de 5.
Il existe toujours un x tel que y<x.

7. Pour tout x appartenant à R et pour tout y appartenant à R, x^2-y^2 >0
Faux si x= y ou si x<y alors x^2-y^2<0


8. Il existe x appartenant à R tel que pour tout y appartenant à R, x^2-y^2>0
Faux si y >x alors x^2-y^2<0.

Merci d'avoir lu

[Job]

Bonjour

Deux remarques préalables :
* Pour démontrer qu'une proposition est fausse, le plus simple est souvent de donner un contre-exemple.
* "Il existe x" ne signifie pas "il existe un seul x" mais signifie "il existe au moins un x".

1) Vrai. $x^2-1<0$ équivaut à $-1<x<1$. Cette inégalité est vérifiée, par exemple, pour $x=\frac{1}{2}$.

2) C'est effectivement faux mais votre justification est incorrecte. Il suffit d'un contre-exemple en prenant $x=2$

3) Réponse correcte.

4) Réponse correcte en disant plutôt, pour $x=4$, $\frac{3x+5}{x+4}$ n'est pas défini.

5) Réponse correcte.

6) Réponse correcte.

7) Faux. Un contre-exemple : pour $x=1$ et $y=2$, $x^2-y^2=-3$

8) Vrai. $y$ étant fixé, il suffit de prendre $x$ tel que $|x|>|y|$

[Propolis]

Merci d'avoir répondu. Mais il y a encore deux points qui me sont flous
x^ 2 −1<0 équivaut à −1<x<1 . comment arriver à ça?

Et la 8, "y étant fixé" mais pour la 8 c'est pour tout y il existe x.
Donc quelque soit le y ça doit marché pour le x dans l'inégalité x^2-y^2>0
Je prends un contreexemple (puisque j'ai compris quelque chose d'après ce que tu as dit il suffit qu'on trouve un contre-exemple pour que ce soit vrai)
fixons x =2 si y= 3 alors on a 4-9= -5 <0

[Job]

Merci d'avoir répondu. Mais il y a encore deux points qui me sont flous
x^ 2 −1<0 équivaut à −1<x<1 . comment arriver à ça?

$x^2-1$ est un trinôme du second degré dont les racines sont $(-1)$ et 1. Il est du signe contraire de $a=1$ entre les racines donc pour $-1<x<1$

Et la 8, "y étant fixé" mais pour la 8 c'est pour tout y il existe x.
Donc quelque soit le y ça doit marché pour le x dans l'inégalité x^2-y^2>0
Je prends un contreexemple (puisque j'ai compris quelque chose d'après ce que tu as dit il suffit qu'on trouve un contre-exemple pour que ce soit vrai)
fixons x =2 si y= 3 alors on a 4-9= -5 <0

Tu as raison, je n'ai pas fait suffisamment attention à l'ordre des 2 parties de la proposition.

[Propolis]

merci