Bonjour, me revoilà et j'ai encore un problème ...
J'ai cette fonction $f_{n}(x)= x^{n}+1-nx $
et je dois trouver le signe $ f_{n+1}(x)-f_{n+}(x)$ dans l'intervalle [0;1]et déduire le signe de $ f_{n+1}(x_{n})$ sachant que $x_{n}$ est la racine de $f_{n}(x)$ et ensuite déterminer la monotomie de $(x_{n})$ mais je n'arrive pas à trouver le signe du coup je suis bloqué pour la monotomie ....
Merci d'avance.
Etudier le signe d'une différence de fonction.
Re: Etudier le signe d'une différence de fonction.
Bonjour
$f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^{n+1} +1-(n+1)x -x^n-1+nx=x^{n+1}-x^n-x=x^n(x-1)-x$
Sur l'intervalle $[0,1]$ $x^n(x-1)\leq 0$ donc $x^n(x-1)-x\leq 0$
$f_{n+1} (x_n)=x_n^{n+1} +1-(n+1)x_n$
Or $x_n$ vérifie $nx_n=x_n^n+1$ donc $f_{n+1}(x_n)=x_n^{n+1} -x_n^n-1+1-x_n=x_n^{n+1}-x_n^n-x_n\leq 0$ d'après le calcul précédent (je suppose qu'il a été démontré que $x_n\in [0,1]$)
Comme $f_{n+1}(x_{n+1})=0$ donc $f_{n+1}(x_n)\leq f_{n+1}(x_{n+1})$
Les fonctions $f_n$ sont décroissantes sur $[0,1]$, par conséquent elles inversent l'ordre. On en déduit que $x_n\geq x_{n+1}$ . La suite est donc décroissante.
$f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^{n+1} +1-(n+1)x -x^n-1+nx=x^{n+1}-x^n-x=x^n(x-1)-x$
Sur l'intervalle $[0,1]$ $x^n(x-1)\leq 0$ donc $x^n(x-1)-x\leq 0$
$f_{n+1} (x_n)=x_n^{n+1} +1-(n+1)x_n$
Or $x_n$ vérifie $nx_n=x_n^n+1$ donc $f_{n+1}(x_n)=x_n^{n+1} -x_n^n-1+1-x_n=x_n^{n+1}-x_n^n-x_n\leq 0$ d'après le calcul précédent (je suppose qu'il a été démontré que $x_n\in [0,1]$)
Comme $f_{n+1}(x_{n+1})=0$ donc $f_{n+1}(x_n)\leq f_{n+1}(x_{n+1})$
Les fonctions $f_n$ sont décroissantes sur $[0,1]$, par conséquent elles inversent l'ordre. On en déduit que $x_n\geq x_{n+1}$ . La suite est donc décroissante.