Bonsoir, j'ai un exercice sur les polynômes à faire et a vrai dire je pensais avoir compris le cours mais avec cet exercice je suis bloquée dès la première question ...
Avec n appartenant N* et le polynôme Pn appartenant à C, j'ai : $P_{n}=\frac{1}{2i}[(1+\frac{iX}{n})^{n}-(1-\frac{iX}{n})^{n}]$
La question 1, il faut déterminer le degré dominant et et le coefficient dominant de n.
Je pensais mettre que le degré dominant c'est n, par contre le coefficient dominant j'en ai aucune idée ...
Ensuite la question 2, il faut déterminer le coefficient constant de Pn et ensuite montrer que Pn appartient à R[x]
Merci d'avance pour votre aide
Opérations sur les polynômes
Re: Opérations sur les polynômes
Bonjour
Il faut utiliser la formule du binôme.
$(1+\frac{iX}{n})^n-(1-\frac{iX}{n})^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} (\frac{iX}{n})^k-\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^k(\frac{iX}{n})^k$
* Si n est impair le terme de degré n est égal à $\frac{1}{2i}(\frac{2i^nX^n}{n^n})=\frac{i^{n-1}}{n^n}X^n$
Le degré dominant est donc n et le coefficient dominant est $\frac{i^{n-1}}{n^n}$
* Si n est pair , le terme de degré n est nul.
Le terme de degré $n-1$ est égal à $\frac{1}{2i} (2n \frac{i^{n-1}X^{n-1}}{n^{n-1}})=\frac{i^{n-2}}{n^{n-1}} X^{n-1}$
Le degré dominant est donc $n-1$ et le coefficient dominant est $\frac{i^{n-2}}{n^{n-2}}$
0 est pair donc le coefficient constant de $P_n$ est nul.
En reprenant le développement de $P_n$ écrit au début on voit que si $k$ est impair le terme de degré $k$ est égal à $\frac{1}{2i} (2 {n\choose k} \frac{i^kX^k}{n^k})= {n\choose k} \frac{i^{k-1}X^k}{n^k}$
$k$ étant impair $k-1)$ est pair donc $i^{k-1}$ est réel égal à 1 ou (-1)
Par contre si $k$ est pair le terme de degré $k$ est nul.
Tous les coefficients de $P_n$ sont donc réels.
Il faut utiliser la formule du binôme.
$(1+\frac{iX}{n})^n-(1-\frac{iX}{n})^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k} (\frac{iX}{n})^k-\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^k(\frac{iX}{n})^k$
* Si n est impair le terme de degré n est égal à $\frac{1}{2i}(\frac{2i^nX^n}{n^n})=\frac{i^{n-1}}{n^n}X^n$
Le degré dominant est donc n et le coefficient dominant est $\frac{i^{n-1}}{n^n}$
* Si n est pair , le terme de degré n est nul.
Le terme de degré $n-1$ est égal à $\frac{1}{2i} (2n \frac{i^{n-1}X^{n-1}}{n^{n-1}})=\frac{i^{n-2}}{n^{n-1}} X^{n-1}$
Le degré dominant est donc $n-1$ et le coefficient dominant est $\frac{i^{n-2}}{n^{n-2}}$
0 est pair donc le coefficient constant de $P_n$ est nul.
En reprenant le développement de $P_n$ écrit au début on voit que si $k$ est impair le terme de degré $k$ est égal à $\frac{1}{2i} (2 {n\choose k} \frac{i^kX^k}{n^k})= {n\choose k} \frac{i^{k-1}X^k}{n^k}$
$k$ étant impair $k-1)$ est pair donc $i^{k-1}$ est réel égal à 1 ou (-1)
Par contre si $k$ est pair le terme de degré $k$ est nul.
Tous les coefficients de $P_n$ sont donc réels.
Re: Opérations sur les polynômes
Bonjour, merci beaucoup pour votre réponse mais je n'ai pas compris comment on passait de la différence de somme au terme si n est impair, pouvez-vous m'expliquer s'il vous plait ?
Re: Opérations sur les polynômes
Le terme de degré n est égal à $(\frac{iX}{n})^n -(-1)^n (\frac{iX}{n})^n$
Par conséquent si $n$ est impair, $(-1)^n=-1$, les signes "moins" se neutralisent et le terme de degré $n$ est égal à $\frac{1}{2i}\times 2(\frac{iX}{n})^n$
Par contre, si $n$ est pair, la différence est nulle et on regarde alors le terme de degré $n-1$
Par conséquent si $n$ est impair, $(-1)^n=-1$, les signes "moins" se neutralisent et le terme de degré $n$ est égal à $\frac{1}{2i}\times 2(\frac{iX}{n})^n$
Par contre, si $n$ est pair, la différence est nulle et on regarde alors le terme de degré $n-1$
Re: Opérations sur les polynômes
Ok c'est bon j'ai compris merci 