Bonsoir Mr job besoin de votre aide S'il vous plaît Merci

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djimtor24
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Bonsoir Mr job besoin de votre aide S'il vous plaît Merci

Message par djimtor24 » 08 février 2019, 14:25

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Re: Bonsoir Mr job besoin de votre aide S'il vous plaît Merci

Message par Job » 08 février 2019, 16:55

Bonjour

Exercice 2
a)
Il faut faire une démonstration par récurrence.
L'égalité est vérifiée pour $n=1$
On la suppose vérifiée à un rang $n$. On a alors
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} k\cdot k! =(n+1)(n+1)! +\sum_{k=1}^n k\cdot k! =(n+1)(n+1)! +(n+1)! -1=(n+1)! (n+1+1)-1=(n+2)!-1$
L'égalité est donc vérifiée au rang $(n+1)$.

b)
$\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
$\displaystyle A=\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} -\sum_{k=2}^n \frac{1}{k}$
$\displaystyle A=1-\frac{1}{n}$

On commence par décomposer $\displaystyle \frac{4x-2}{x(x^2-1)}$ en éléments simples de la forme $\displaystyle \frac{a}{x} +\frac{b}{x-1} +\frac{c}{x+1}$
Par identification, on obtient : $\displaystyle \frac{1}{x-1} +\frac{2}{x} -\frac{3}{x+1}$
$\displaystyle B = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k-1} + 2\sum_{k=2}^n \frac{1}{k} -3\sum_{k=2}^n \frac{1}{k+1}$
En faisant des changements d'indices :
$\displaystyle B = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} +2\sum_{k=2}^n \frac{1}{k} -3 \sum_{k=3}^{n+1}\frac{1}{k}$
$\displaystyle B= (\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+2(\frac{1}{2} +\frac{1}{n})+(1+2-3)\sum_{k=3}^{n-1}\frac{1}{k} -3\times (\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})$
$\displaystyle B= \frac{5}{2} -\frac{1}{n}-\frac{3}{n+1}=\frac{5}{2} -\frac{4n+1}{n(n+1)} $

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Re: Bonsoir Mr job besoin de votre aide S'il vous plaît Merci

Message par Job » 08 février 2019, 17:51

Exercice 6
a)
On dérive avec la formule de dérivation d'un quotient et on simplifie par $(x^2+1)^n$ et par une récurrence immédiate, si $P_n$ est de degré $n$ alors $P_{n+1}$ est de degré $(n+1)$

b) Soit $a_n$le coefficient dominant de $P_n$, le terme de plus haut degré de $P_n$ est donc $a_nx^n$ et le terme de plus haut degré de $P'_n$ est donc $na_nx^{n-1}$
On en déduit que le terme de plus haut degré de $P_{n+1}$ est donc $x^2(na_nx^{n-1}) -2(n+1)xa_nx^n$
Soit $(na_n-2(n+1)a_n)x^{n+1}=(-n-2)a_nx^{n+1}$
On a donc $a_{n+1} =-(n+2)a_n$

Avec $\displaystyle f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ on a donc $a_1=-2=(-1)^1(2!)$
Avec la relation de récurrence établie, on démontre par récurrence que $a_n=(-1)^n(n+1)!$

djimtor24
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Re: Bonsoir Mr job besoin de votre aide S'il vous plaît Merci

Message par djimtor24 » 08 février 2019, 22:00

Grd Merci Mr Job

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