Démonstration

[morgane_brb]

Bonjour,
Je révise pour mon exam et je bloque à une demo:
Soit f une application d'un intervalle ouvert non vide ]a,b[ valeur dans R.
Démontrer que si f est minimal en un point $x_{0}$ appartenant à ]a,b[ et est dérivable en $x_{0}$ alors f'($x_{0}$)=0

Merci d'avance !!

[Job]

Bonjour

Puisque $f$ est définie sur un intervalle ouvert, il existe un intervalle ouvert comprenant $x_0$
$f$ étant dérivable en $x_0$ elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$
$f'_d(x_0)= \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0$ puisque $f$ est minimale en $x_0$ et $h>0$
$f'_g(x_0)= \lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0$ puisque $f$ est minimale en $x_0$ et $h<0$

Or les nombres dérivées à droite et à gauche sont égaux puisque $f$ est dérivable en $x_0$ donc $f'(x_0)=f'_d(x_0)=f'_g(x_0)=0$

[morgane_brb]

bonjour,
J'arrive pas à comprendre pourquoi elle est nulle .. ? Je comprends pourquoi la limite à droite et à gauche est égale (def) mais je vois vraiment pas pourquoi elle est nulle
Désolé du dérangement !!! Merci

[Job]

L'un des nombres dérivés est supérieur ou égal à 0 et l'autre inférieur ou égal à 0, or ces 2 nombres sont égaux, la seule possibilité est donc qu'ils sont nuls.

[morgane_brb]

Ouf , oui ! Merciii beaucoup pour votre aide !!! encore une fois !