Matrice Gaussienne

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Jean37
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Matrice Gaussienne

Message par Jean37 » 25 mai 2018, 17:45

Bonjour Job,je voulais savoir si tu pouvais répondre aux questions des ces exos stp?
Quand tu auras le temps t'inquiète,même ce week end.
Les voici:
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Dernière modification par Jean37 le 20 juin 2018, 14:18, modifié 1 fois.

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Re: Matrice Gaussienne

Message par Job » 26 mai 2018, 17:47

Bonjour Jean

Exercice I
I-1 $AU=\left(\begin{matrix}A_{11}U_1\\A_{21}U_1+A_{22}U_2\\A_{31}U_1+A_{32}U_2+A_{33}U_3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}aU_1\\U_2+bU_2\\U_3+U_3+cU_3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}aU_1\\(1+b)U_2\\(2+c)U_3\end{matrix}\right)$

I-2 $A\left(\begin{matrix}U_1\\0\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}aU_1\\0\\0\end{matrix}\right)$ donc $a$ est valeur propre de $A$

I-3 $a=2$. Pour que 2 soit valeur propre, il faut que $1+b=2$ soit $b=1$ et $2+c=2$ soit $c=0$

I-4 La matrice est triangulaire par blocs donc $\det (A)=\det(A_{11}\times \det (A_{22}\times \det (A_{33}=9$

I-5 $AV=\left(\begin{matrix}aV_1\\(1+b)V_2\\(2+c)V_3\end{matrix}\right)$ donc
$AV=U$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}aV_1&=&U_1\\(1+b)V_2&=&U_2\\(1+c)V_3&=&U_3\end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{rcl}V_1&=&\frac{1}{a}U_1\\V_2&=&\frac{1}{1+b}U_2\\V_3&=&\frac{1}{2+c}U_3\end{array}\right.$

Je verrai les autres demain.
Quand l'ensemble n'apparaît pas, je suppose qu'il s'agit de R !

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Re: Matrice Gaussienne

Message par Job » 27 mai 2018, 10:52

ExerciceII
II-1 $\det (A)=w^3-2w$

II-2 $w(w^2-2)=0$ a pour solutions 0, $-\sqrt 2$, $\sqrt 2$.
$E={\mathbb R}-\{0,-\sqrt 2, \sqrt 2\}$

II-3 (a) $A=D-(E+F)$ avec $D$ matrice diagonale extraite de $A$
$B=D^{-1}(E+F)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{w}&0&0\\0&\frac{1}{w}&0\\0&0&\frac{1}{w}\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0&-1&0\\-1&0&-1\\0&-1&0\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0&-\frac{1}{w}&0\\-\frac{1}{w}&0&-\frac{1}{w}\\0&-\frac{1}{w}&0\end{matrix}\right)$

$c=D^{-1}b=\left(\begin{matrix}\frac{1}{w}&0&0\\0&\frac{1}{w}&0\\0&0&\frac{1}{w}\end{matrix}\right)$

(b) Je ne sais pas ce que tu as vu comme méthode.

(c) $U_1=BU_0+c=\left(\begin{matrix}\frac{1}{w}\\0\\\frac{1}{w}\end{matrix}\right)$ et $U_2=BU_1+c=\left(\begin{matrix}\frac{1}{w}\\-\frac{2}{w^2}+\frac{1}{w}\\ \frac{1}{w}\end{matrix}\right)$

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