détermination d'une fonction

[syne1]

Bonjour, je cherche de l'aide pour cet exercice . MERCI D'AVANCE

Soit f: IR → IR
telle que pour tout x, y ∈ IR, f(x + y) = f(x) + f(y)
Déterminer f

[Job]

Bonjour

La fonction nulle est solution. On cherche maintenant les fonctions non nulles répondant à la question.

* $f(0)=f(0+0)=2f(0)$ donc $f(0)=0$.

* $\forall x\in {\mathbb R},\ f(x)+f(-x)=f(0)=0$ donc $f$ est impaire.

* Soit $n\in {\mathbb N}$. $\forall x\in {\mathbb R},\ f((n+1)x)=f(nx)+f(x)$.
Donc par récurrence sur $n$, $f(nx)=nf(x)$ et puisque $f$ est impaire :
$\forall n\in {\mathbb Z},\ \forall x\in {\mathbb R}, f(nx)=nf(x)$

* Soir $r=\frac{p}{q}$ un rationnel.
$f(r)=f(p\times \frac{1}{q})=pf(\frac{1}{q})$ et $f(1)=f(q\times \frac{1}{q})=qf(\frac{1}{q})$ donc $f(\frac{1}{q})=\frac{1}{q} f(1)$
Et $f(r)=\frac{p}{q} f(1)=rf(1)$

* En posant $f(1)=a$, on a donc pour tout rationnel $x,\ f(x)=ax$

* Pour étendre la propriété à $\mathbb R$, il faut ajouter une propriété à $f$. On suppose $f$ continue.
Tout réel est limite d'une suite de rationnels.
Soit $x$ réel limite d'une suite $(x_n)$ de rationnels.
Si $f$ est continue, $f(x)=\lim (f(x_n))=\lim (ax_n)=a\lim (x_n)=ax$

Les fonctions cherchées sont donc les fonctions linéaires.