Calcul d'intégrale

[morgane_brb]

Bonjour !

Je suis bloquée à un exercice d'analyse sur le "calcul d'intégrale) :
Soient théta appartenant à l'intervalle [0,$\frac{pi}{2}$] et f la fonction de [0,1] dans R définie par :
$f_{théta}$(x) := xtan(théta) si x appartient [0,cos(théta)[
$\sqrt{1-x^{2}}$ si x appartient [cos(théta),1]

3.1 ) Tracer le graphe de $f_{théta}$ lorsque théta = $\frac{pi}{3}$ Bon ici, pas de problème particulier

3.2) Justifier (briévement et sans calcul) la formule : $\int_{0}^{1}f_{théta}(t)dt$ = $\frac{théta}{2}$ . Puis en déduire la valeur de l'integrale

$\int_{cos(théta)}^{1}f(t)dt$ avec f(t) = $\sqrt{1-t^{2}}$

Pour cette deuxieme question je pensais faire un changement de variable.. mais je tourne en rond surtout que il nous dise de justifier brièvement et sans calcul donc je pense que il y a une particularité que je n'arrive pas à trouver..

Merci d'avance pour votre aide !

[Job]

Bonjour

Il faut penser à utiliser le graphe.

L'intégrale entre 0 et $\cos \theta$ est représentée par l'aire du triangle $OAB$ avec les points $A\ :\ (\cos \theta, 0)$ et $B\ :\ (\cos \theta , \sin \theta)$
L'intégrale entre $\cos \theta$ et 1 est représentée par l'aire de la surface délimitée par le segment $[AB] $, le segment $[AC]$ avec $C\ :\ (1,0)$ et un arc $BC$ qui est un arc de cercle de centre O et de rayon 1.

La réunion de ces 2 surfaces est un secteur circulaire de centre O, de rayon 1 et dont l'angle au centre mesure $\theta$ puisque $B$ a pour coordonnées $(\cos \theta , \sin \theta)$.

L'aire de ce secteur circulaire est égale à : $\pi \times 1^2 \times \frac{\theta}{2\pi}=\frac{\theta}{2}$

[morgane_brb]

Merci beaucoup pour votre aide