équations non linéaires(suite convergence aussi).

[Jean37]

Salut Job,j'espère que t'a profité de tes vacances sans tes élèves chiant mdr.

Plus sérieusement
Je veux savoir si j'ai fais des erreurs(et si oui lesquels) dans cet exercice(désolé c'est une photo un peu flou qu'on m'a envoyé).



En fait on en a fait un similaire en cours,sauf que ...

Et j'ai utiliser la même méthode pour résoudre celui là.

Donc pour commencer j'ai dit que [tex]x=ln(5x+6)=f_1(x)[/tex] {e^x-5x-6=0

[tex]x=f_2(x)=\frac{e^x-6}{5}[/tex]

Soit f(x)=>[tex]x=\frac{e^x-6}{5}[/tex]=>5x=e^x-6=>

Soit f(x)=0

b) [tex]x_{n+1}=f1(x_n)[/tex] ; |g'(x)|<=1(inférieur ou égal à 1)
[tex]x_{n+1}=f2(x_n)[/tex] ; |f1'(x)|<=1

[tex]f_1'(x)=\frac{5}{5x+6}[/tex]et |f1'(x)|<=1 de plus |5/(5x+6)|<=1.

Donc -1<=|5/(5x+6)|<=1.
[tex]5x+6>0[/tex] car [tex]ln(5x+6)[/tex] existe.

[tex]5x>-6[/tex] et [tex]x>-1/6[/tex] donc ,Df1=]-1/6;+l'infini[ .

d'ou 0<5/(5x+6)<=1.

Ce qui implique que 0<5<=5x+6 et 5x+6 [tex]\geq[/tex] 5=>5x [tex]\geq[/tex] -1.

Donc x [tex]\geq[/tex] -1/5.
Et l'intervalle de convergence est [tex]x_{n+1}[/tex]=f1(x1) : ]1/2;+l'infini[.

Pour f2,on a |f2'(x)|<=1 ; f2'(x)=(e^x)/5 ; |(e^x)/5|<=1 donc -1<=(e^x)/5<=1 et 0<=(e^x)/5<=5.

Et x<=ln(5)

Donc l'intervalle de convergence de x_{n+1}=f2(x_n) est ]- l'infini;ln(5)[.

Donc converge vers x1=0 et x2=[1,3].
Par contre j'ai pas compris d'ou vient le g'x) et f1'(x). (vu en cours)

[Job]

Bonjour Jean

Ne pourrais-tu pas me scanner l'exercice semblable que vous avez fait car si pour les questions 1 et 2(a), je n'ai pas de problème, ensuite je ne comprends pas quelle méthode utilise votre prof.

[Jean37]

Pas de soucis je t'envoi ça en espérant que ça t'aidera plus que moi.
L'exo similaire et le corrigé(j'envoi une partie le cours dans 5min):

[Job]

Je prends le début de l'exercice que tu veux faire (je préfère tout reprendre, c'est plus clair pour moi)

1. $f$ est définie sur $\mathbb R$
$f'(x)=e^x-5$ s'annule lorsque $e^x=5$ soit $x=\ln 5$
$f(\ln 5)=5-5\ln 5 -6=-5\ln 5 -1<0$
Sur $]-\infty, \ln 5[,\ f'(x)<0$ donc $f$ est décroissante
Sur $]\ln 5 , +\infty[,\ f'(x)>0$ donc $f$ est croissante
D'autre part $f$ a comme limite +l'infini en $-\infty$ et $+\infty$

Étant donné que le minimum de $f$ est négatif et les limites $+\infty$, l'équation $f(x)=0$ admet 2 solutions, l'une $\alpha$ sur l'intervalle $]-\infty , \ln 5[$ et l'autre $\beta$ sur l'intervalle $]\ln 5 , +\infty[$
Avec la calculatrice, $-2<\alpha<-1$ et $3<\beta<4$

2. (a) En utilisant la fonction exponentielle : $x=\ln (5x+6)\Longleftrightarrow e^x=5x+6$ soit $f(x)=0$

D'autre part $x=\frac{e^x-6}{5}\Longleftrightarrow e^x-6=5x$ soit $f(x)=0$

(b) $f_1$ est définie si $5x+6>0$ soit $x>-\frac{6}{5}$
Sur $D_{f_1},\ f'_1(x)=\frac{5}{5x+6}>0$ donc égal à sa valeur absolue
$\frac{5}{5x+6}<1\Longleftrightarrow 5<5x+6$ soit $x>-\frac{1}{5}$
$f_1$ est donc contractante sur l'intervalle $]-\frac{1}{5}, +\infty[$ qui est l'intervalle de convergence de la première suite.

$f_2$ est définie sur $\mathbb R$ et $f'_2(x)=\frac{e^x}{5}>0$
$\frac{e^x}{5} <1\Longleftrightarrow e^x<5$ soit $x<\ln 5$
$f_2$ est donc contractante sur l'intervalle $]-\infty, \ln 5[$ qui est l'intervalle de convergence de la seconde suite.

(c) Pour la première suite, la limite doit appartenir à l'intervalle $]-\frac{1}{5}, +\infty[$, c'est donc $\beta$ puisque $3<\beta<4$
Pour la seconde suite, la limite doit appartenir à l'intervalle $]-\infty, \ln 5[$, c'est donc $\alpha$ puisque $-2<\beta<-1$

(d) Je te laisse faire les calculs avec la calculatrice.

Pour la suite, je veux d'abord me rafraîchir un peu la mémoire

[Job]

(f) Il s'agit d'une convergence linéaire. On le vérifie sur les premiers termes avec la formule qui figure dans l'exemple traité par le prof.

3. $x_{n+1}=x_n-\frac{e^{x_n}-5x_n-6}{e^{x_n}-5}$ et on fait les calculs.

Il s'agit, je pense, d'une convergence quadratique. Je te renvoie à ton cours pour vérifier si les conditions sont remplies.

[Jean37]

(f) Il s'agit d'une convergence linéaire. On le vérifie sur les premiers termes avec la formule qui figure dans l'exemple traité par le prof.

3. $x_{n+1}=x_n-\frac{e^{x_n}-5x_n-6}{e^{x_n}-5}$ et on fait les calculs.

Il s'agit, je pense, d'une convergence quadratique. Je te renvoie à ton cours pour vérifier si les conditions sont remplies.

Ok merci beaucoup Job,sinon j'ai quelques questions pour l'exercice 2 (de la deuxième photo que j'ai posté ci-dessus).
J'ai le corrigé aussi t'inquiète.