Simplification

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lesolitaire
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Simplification

Message par lesolitaire » 03 septembre 2017, 09:37

Bonjour;
Comment passe-t- on de

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (cos(x))dx\\

I=\frac{I+I}{2}\\
à
=\frac{1}{2}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\ln (sin(x)+\ln (cos(x)})dx
}$

; on perçoit bien qu'il y a une puissance au carré de $\ln \cos(x)$ mais après

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Re: Simplification

Message par lesolitaire » 03 septembre 2017, 11:04

lesolitaire a écrit :Bonjour;
Comment passe-t- on de

$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln (cos(x))dx\\

I=\frac{I+I}{2}\\
à
=\frac{1}{2}{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\ln (sin(x)+\ln (cos(x)})dx
}$

; on perçoit bien qu'il y a une puissance au carré de $\ln \cos(x)$ mais après
Finalement dans l' intervalle considérée l'égalité est normale ainsi que l'écriture par rapport à ln

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Re: Simplification

Message par Job » 03 septembre 2017, 16:19

Bonjour

En faisant le changement de variable : $x=\frac{\pi}{2}-t$, on a :
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\cos x) dx =\int_{\frac{\pi}{2}}^0 \ln (\cos (\frac{\pi}{2}-t))(-dt))=\int_{\frac{\pi}{2}}^0 (-\ln (\sin t))dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt$

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Re: Simplification

Message par lesolitaire » 04 septembre 2017, 06:18

Bonjour;

Je suis d'accord pour la réponse, c'est une façon de faire, mais c'est le passage de la dernière ligne de ma question qui me pose problème, c'est texto ce qui apparait dans la solution sans changement de variable. Pourquoi poser $I = \frac{{I + I}}{2}$
et tout de suite le développement en ln


Merci

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Re: Simplification

Message par Job » 04 septembre 2017, 09:34

Bonjour

On a donc $I=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\ln (\sin x)+\ln (\cos x))dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin x \cos x) dx=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\frac{1}{2} \sin (2x)) dx$

$I=\frac{1}{2}[\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (2x)) dx -\frac{\pi}{2} \ln 2]=\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (2x)) dx -\frac{\pi}{4}\ln 2$

On fait le changement de variable : $t=2x$

$I=\frac{1}{2}\int _0^{\pi}\frac{1}{2}\ln (\sin t) dt -\frac{\pi}{4}\ln 2=\frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin t) dt +\frac{1}{4}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln (\sin t) dt -\frac{\pi}{4}\ln 2$

Avec le changement de variable $u=t-\frac{\pi}{2}$ :
$\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \ln (\sin t)dt=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\sin (\frac{\pi}{2}-u)) du=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos u) du=I$

Ce qui donne finalement : $I=\frac{1}{4} I +\frac{1}{4} I-\frac{\pi}{4}\ln 2$ donc $I=-\frac{\pi}{2} \ln 2$

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