Exercices topologie

[blaieblaie]

Bonjour à tout le monde et à Job.

Est-ce que vous pensez qu'il serait possible de m'aider à faire ces exercices de topologie ?





Merci d'avance

[Job]

Bonjour

Question 2
(1) $\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2-12 y$ et $\frac{\partial f}{\partial y}=-12 x +24 y^2$

matrice hessienne : $\left(\begin{matrix}6x&-12\\-12 &48y\end{matrix}\right)$

(2) Les points critiques sont solution du système : $\left\{\begin{array}{rcl}3x^2-12 y &=&0\\-12 x +24 y^2&=&0\end{array}\right.$

On obtient comme solution (0 , 0) et (2 , 1).

(3) En (0 , 0) la matrice hessienne a un déterminant négatif donc il s'agit d'un point col.

En (2 , 1) la matrice hessienne est $\left(\begin{matrix}12&-12\\-12 &48\end{matrix}\right)$.
Le déterminant est positif et la trace est positive donc il s'agit d'un minimum local

(On peut aussi justifier en utilisant les notations de Monge.)

[blaieblaie]

Merci beaucoup, vous faites un travail formidable !

[blaieblaie]

Bonjour Job,
Avez-vous une idée du (2) et (3) de la question 4 ?

[blaieblaie]

Pour la Question 4, je bloque un peu, je ne sais pas si vous pouvez m'aider :

(1) J'ai trouvé la matrice jacobienne suivante :

$\begin{pmatrix}
-\lambda \sin(x+y) & -\lambda \sin(x+y) \\
\lambda \cos(x+y) & \lambda \cos(x+y)
\end{pmatrix}$

(2) Comme $ \mathbb{R}^2 $ est muni de sa norme euclidienne, $|||DF_{\lambda} (x,y)||| = \sqrt{-\lambda \sin(x+y) \lambda \cos(x+y) - \lambda \sin(x+y) \lambda \cos(x+y)} = \sqrt{2} |\lambda| \sqrt{-\cos(x+y) \sin(x+y) } \leq \sqrt{2} |\lambda|$.

(3) Je sais que l'inégalité des accroissements finis est telle que si la norme de la différentielle d'une fonction f est majorée par M ($|Df(x)| \leq M$), alors $|f(x)-f(y)| \leq M |x-y|$.

Du coup ici je vois immédiatement que la constante de Lipschitz sera majorée par $\sqrt{2}|\lambda|$ par la question précédente, mais comment appliquer l'inégalité des accroissements finis à une fonction à plusieurs variables et plusieurs équations ? Et à la question (2), que veut dire "définir la norme d'un opérateur linéaire |||L||| ..." ? S'agit-il simplement de rappeler la norme euclidienne ?

[Job]

Bonjour

2) Norme d'un opérateur linéaire de ${\mathbb R}^2$ dans ${\mathbb R}^2$ : $|||L|||=sup \left\{\frac{||L(x)||_2}{||x||_2}, x\in {\mathbb R}^2, x\neq 0\right\}$

Les coordonnées de l'image d'un vecteur $(a,b)$ par $DF_{\lambda}(x,y)$ sont $\left (\begin{matrix}-\lambda \sin (x+y)(a+b)\\\lambda\cos (x+y)(a+b)\end{matrix}\right)$

$\sqrt{\frac{\lambda^2\sin^2(x+y)(a+b)^2+\lambda^2\cos^2 (x+y) (a+b)^2}{a^2+b^2}}=\sqrt{\frac{\lambda^2 (a+b)^2}{a^2+b^2}}$

$(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$ donc $|||DF_{\lambda}(x,y)|||$ est majoré par $|\lambda| \sqrt 2$

3) Énoncé de l'inégalité des accroissements finis :
Soit $U$ un ouvert de ${\mathbb R}^n$, $f$ une fonction différentiable sur $U$ à valeurs dans ${\mathbb R}^p$, $a$ et $b$ deux points de $U$ tels que le segment $[a , b]$ soit contenu dans $U$. On suppose qu'il existe un réel positif $k$ tel que la norme de la différentielle $df_x$ vérifie $||df_x||\leq k$ pour tout $x$ de $[a, b]$ alors $||f(b)-f(a)||\leq k ||b-a||$

Cela correspond donc à ce que vous avez écrit.

Mes réponses à prendre avec réserves, tout ça est un peu loin pour moi.

[blaieblaie]

Bonjour,

J'ai vu votre réponse avant mais je n'ai pu répondre : merci beaucoup !!