Bonjour,
Pouvez-vous m'aider sur ces deux exercices de calcul intégral ?
EXERCICE I
Soit $\mu$ une mesure sur la tribu des boréliens. Pour tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et tout $x \in \mathbb{R}$, on note $I+x = \{y \in \mathbb{R} : \exists z \in I, y = z+x \}$. On suppose que la mesure $\mu$ vérifie la propriété suivante : $\mu(I) = \mu(I+x)$ pour tout intervalle $I$ et tout réel $x$ et $\mu([0,1]) = 1$.
(a) Montrer que $\mu(\{x\}) = \mu(\{y\})$, pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.
(b) En déduire que $\mu(\{x\}) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
(c) Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $\mu([0,\frac{1}{n}]) = \frac{1}{n}$.
(d) En déduire que $\mu$ est la mesure de Lebesgue.
EXERCICE II
Soit $(X,A)$ un espace mesurable. Pour $x \in X$, l'atome de $A$ engendré par $x$ est le sous-ensemble $\overline{x} \subset X$ définit par :
$\overline{x} = \bigcap_{\{a \in A, x \in a\}} a$.
Soit $B = \{\overline{x} : x \in X\}$ l'ensemble des atomes de $A$.
(a) Montrer que $X = \bigcup_{x \in X} \overline{x}$ et que $\overline{x} \cap \overline{y} = \emptyset$ pour tout $\overline{x} \neq \overline{y}$ (c'est-à-dire, $B$ est une partition de $X$).
(b) Montrer que si $A$ est au plus dénombrable alors $A$ contient tous ses atomes et que chaque élément de $A$ s'écrit comme une réunion au plus dénombrable d'atomes.
(c) En déduire que si $A$ est au plus dénombrable, $A$ contient $P(B)$.
(d) Montrer que si $B$ est infini, $P(B)$ n'est pas dénombrable.
(e) En déduire qu'il n'existe pas de tribu infinie dénombrable.
Merci d'avance...