Topologie

[blaieblaie]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider à faire ces exercices ?



Merci bcp bcp d'avance...

[Job]

Bonjour

Question 1
Il existe des définitions équivalentes donc il faut adapter les réponses à ce qui a été vu en cours.

(1) Un ensemble $U$ est ouvert si il est vide ou si pour tout $x\in U$, il existe une boule ouverte de centre $x$ de rayon non nul contenue dans $U$.

Un ensemble $F$ est fermé dans $X$ si son complémentaire dans $X$ est ouvert.

(2) Dans ${\mathbb R}$, $\mathbb R$ est fermé puisque son complémentaire : $\emptyset$ est ouvert et il est ouvert dans $\mathbb R$ d'après la définition.

(3) Soit $x\in \bigcap_{j=1}^n U_j$
Il existe $n$ nombres réels strictement positifs $r_1,\cdots ,r_n$ tels que $B(x,r_j)\subset U_j$
Soit $r$ le minimum de $r_1,\cdots r_n$ alors $\forall j\in \{1,\cdots ,n\}, B(x,r)\subset B(x,r_j)$ donc $r$ est le rayon d'une boule de centre $x$ qui est incluse dans $\bigcap_{j=1}^n U_j$ donc cette intersection est un ouvert.

(4) Soit $X={\mathbb R}$ et $U_n=]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}[$. Chaque $U_n$ est un ouvert et $\bigcap _{n\in {\mathbb N}*}=\{0\}$ qui n'est pas un ouvert car il ne contient aucune boule ouverte de centre 0.

[Job]

Question 3

(1) Si il existe un réel $k\in [0,1[$ tel que $\forall (x,y),\ d(f(x),f(y))\leq k d(x,y)$ alors $f$ possède un unique point fixe.

(2) $a_{n+1}=\sqrt {2+a_n}$ donc $f(x)=\sqrt{2+x}$

(3) Soit 2 réels distincts $x$ et $y$ tels que $0\leq x<y$

$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{\sqrt{2+y}-\sqrt{2+x}}{y-x}=\frac{(\sqrt{2+y}-\sqrt{2+x})(\sqrt{2+y}+\sqrt{2+x}}{(y-x)(\sqrt{2+y}+\sqrt{2+x}}=\frac{y-x}{(y-x)(\sqrt{2+y}+\sqrt{2+x}}=\frac{1}{\sqrt{2+y}+\sqrt{2+x}}$

$\sqrt{2+y}+\sqrt{2+x}\geq 4$ donc $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \frac{1}{4}$ soit $|f(y)-f(x)|\leq \frac{1}{4} |y-x|$
$f$ est lipschitzienne , sa contante est majorée par $\frac{1}{4}$

(4) D'après le théorème du point fixe, $f$ a donc un unique point fixe et la suite $(a_n)$ converge vers une solution de l'équation $f(x)=x$ soit $\sqrt{2+x}=x$ dont l'unique solution positive est 2.

[blaieblaie]

Merci infiniment pour ces réponses, ça m'aide vraiment beaucoup !

[Job]

Question 2

(1) $\frac{\partial f}{\partial x}=-2(2x)(x^2-1)-2(2xy-1)(x^2y-x-1)=-4x^3y^2-4x^3+6x^2y+4xy+2x-2$

$\frac{\partial f}{\partial y}=-2x^2(x^2y-x-1)$

On peut alors écrire le gradient.

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=-12x^2y^2-12x^2+12xy+4y+2$

$\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-2x^4$

$\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}=-8x^3y+6x^2+4x$

(2) $\frac{\partial f}{\partial y}=0$ si et seulement si $x=0$ ou $x^2y-x-1=0$ (les 2 cas ne pouvant pas avoir lieu en même temps)

Si $x=0,\ \frac{\partial f}{\partial x}=-2\neq 0$ donc on n'obtient pas de point critique.

Si $x^2y-x-1=0$ alors $\frac{\partial f}{\partial x}=-2x^2(x^2-1)=0$. Valeurs possibles pour $x$ : -1 et 1

On obtient donc 2 points critiques : (-1 , 0) et (1 , 2)

(3) $\forall (x,y)\in {\mathbb R}^2,\ f(x,y)\leq 0$

Or $f(-1,0)=f(1,2)=0$ donc ces points critiques sont des maxima locaux.

[blaieblaie]

Merci infiniment Job pour ce boulot, ça m'aide beaucoup ! Un grand bravo !