J'ai un petit exo à résoudre.
Déterminer pour quelles équations les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz sont satisfaites pour toute valeur initiale $a \in \mathbb{R}$ :
1) $x'(t) = x(t)^3, x(0)=a$
2) $x'(t) = \sqrt{|x(t)^2 -1 |},x(0)=a$
3) $x'(t) = \sqrt{x(t)^2 +1}, x(0)=a$
4) $x'(t) = x(t)^2 cos(x(t)),x(0)=a$
Pour les équations dont la réponse précédente est positive : déterminer, en fonction de $a \in \mathbb{R}$, si la solution maximale correspondante est globale, c'est-à-dire si l'intervalle maximal $I$ de définition est $\mathbb{R}$ tout entier.
Mes résultats :
1) L'application $f(x,t) = x^3$ est $C^1$ (en effet, sa dérivée existe et est continue), donc le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique.
On voit que $x(t) = 0$ est une solution constante. Soit une autre solution maximale $u(t)$ définie sur un intervalle $]T^-,T^+[$. On sait alors que $u(t)$ est différent de 0.
Considérons $u(t) > 0$. Dans ce cas, $u(t)$ est croissante, car $x(t)^3$ est positive sur $]0,+\infty[$.
On a donc que $T^- = -\infty$. En effet, si $T^- > -\infty$, alors $u(t)$ admettrait une limite $\geq 0$ en $T^-$ et serait donc prolongeable, ce qui est contradictoire.
Considérons maintenant le cas $u(t) < 0$. Dans ce cas, $u(t)$ est décroissante car $x(t)^3$ est négative sur $]-\infty,0[$.
On a donc encore une fois que $T^- = -\infty$. En effet, si $T^- > -\infty$, on aurait $\lim_{t \rightarrow T^-} u(t) = l \leq 0$, ce qui est contradictoire.
Cependant, comment évaluer $T^+$ sans calculer explicitement la solution ?
2) L'application $f(x,t) = \sqrt{|x(t)^2-1|}$ est $C^1$ excepté en $-1$ et en $1$. Donc le théorème de Cauchy-Lipschitz ne s'applique pas, c'est bien ça ? Et pouvez-vous m'aider pour les 2 autres, sans calculer directement la solution explicite ?
Merci d'avance
