Bonjour, pouvez-vous m'aider pour ces exercices. MERCI D'AVANCE
EXERCICE 1
Soient A et B deux parties majorées non vides de IR.
On note $A+B$ $=$ $\{x∈R; ∃~ (a,b) ∈ A×B,x=a+b\}$
Montrer que $A+B$ admet une borne supérieure dans IR, et que $sup (A+B)=sup(A)+sup(B)$
EXERCICE 2
Soit $x∈IR, V⊆IR$
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes
1) V est un voisinage de x
2) Il existe un réel $ε>0$ tel que $V(x,ε)$ $=$ $]x-ε;~x+ε[⊂V$
3) Il existe un entier naturel non nul n tel que $V(x,\frac{1}{n})⊂V$
EXERCICE 3
Soit $X$ une partie de IR
Montrer que :
1) X est fermé si et seulement si tout point adhérent à X appartient à X
2) $\bar{X}$ est le plus petit fermé contenant X
3) X est ouverte si et seulement si tout point de X est intérieur à X
4) $\mathring{X}$ est le plus grand ouvert contenu dans X
topologie
Re: topologie
Bonjour
Exercice 1
$\forall (a,b)\in A\times B,\ a\leq \sup(A)$ et $b\leq \sup (B)$ donc $a+b\leq \sup (A)+\sup (B)$. On en déduit que $\sup (A+B)\leq \sup (A)+\sup (B)$
Il faut maintenant démontrer l'inégalité en sens contraire.
Soit $ (a,b)\in A\times B,\ a+b\leq \sup (A+B)$ soit $a\leq \sup (A+B)-b$. Ceci étant vrai $\forall a\in A$, $\sup (A)\leq \sup (A+B)-b$
Donc $b\leq \sup (A+B)-\sup (A)$. Ceci étant vrai $\forall b\in B,\ \sup (B)\leq \sup (A+B)-\sup (A)$ donc $\sup (A)+\sup (B)\leq \sup (A+B)$
Exercice 1
$\forall (a,b)\in A\times B,\ a\leq \sup(A)$ et $b\leq \sup (B)$ donc $a+b\leq \sup (A)+\sup (B)$. On en déduit que $\sup (A+B)\leq \sup (A)+\sup (B)$
Il faut maintenant démontrer l'inégalité en sens contraire.
Soit $ (a,b)\in A\times B,\ a+b\leq \sup (A+B)$ soit $a\leq \sup (A+B)-b$. Ceci étant vrai $\forall a\in A$, $\sup (A)\leq \sup (A+B)-b$
Donc $b\leq \sup (A+B)-\sup (A)$. Ceci étant vrai $\forall b\in B,\ \sup (B)\leq \sup (A+B)-\sup (A)$ donc $\sup (A)+\sup (B)\leq \sup (A+B)$
Re: topologie
Exercice 2
(Les démonstrations dépendent des définitions précises que vous avez vues en cours, elles sont peut-être à adapter.)
1) Prop 1 $\Longrightarrow$ prop 2.
$V$ est un voisinage de $x$ signifie qu'il existe un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R$ contenant $x$ et inclus dans $V$.
Un ouvert contenant $x$ est de la forme $]x-\alpha, x+\beta[$ avec $\alpha$ et $\beta$ strictement positifs.
En prenant $\epsilon =\inf(\alpha , \beta)$, on obtient $]x-\epsilon , x+\epsilon[\subset V$.
2) Prop 2 $\Longrightarrow$ prop 3.
$\lim \frac{1}{n}=0$ donc $\forall \epsilon >0, \exists n\in {\mathbb N}^*\ /\ 0<\frac{1}{n}<\epsilon$
Donc $]x-\frac{1}{n} , x+\frac{1}{n}[ \subset ]x-\epsilon , x+\epsilon[\subset V$
3) Prop 3 $\Longrightarrow$ prop 1.
$V(x,\frac{1}{n})\subset V$ signifie qu'il existe un ouvert $]x-\frac{1}{n} , x+\frac{1}{n}[$ contenant $x$ et inclus dans $V$ donc $V $ est un voisinage de $x$.
Les 3 propositions sont donc équivalentes.
(Les démonstrations dépendent des définitions précises que vous avez vues en cours, elles sont peut-être à adapter.)
1) Prop 1 $\Longrightarrow$ prop 2.
$V$ est un voisinage de $x$ signifie qu'il existe un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R$ contenant $x$ et inclus dans $V$.
Un ouvert contenant $x$ est de la forme $]x-\alpha, x+\beta[$ avec $\alpha$ et $\beta$ strictement positifs.
En prenant $\epsilon =\inf(\alpha , \beta)$, on obtient $]x-\epsilon , x+\epsilon[\subset V$.
2) Prop 2 $\Longrightarrow$ prop 3.
$\lim \frac{1}{n}=0$ donc $\forall \epsilon >0, \exists n\in {\mathbb N}^*\ /\ 0<\frac{1}{n}<\epsilon$
Donc $]x-\frac{1}{n} , x+\frac{1}{n}[ \subset ]x-\epsilon , x+\epsilon[\subset V$
3) Prop 3 $\Longrightarrow$ prop 1.
$V(x,\frac{1}{n})\subset V$ signifie qu'il existe un ouvert $]x-\frac{1}{n} , x+\frac{1}{n}[$ contenant $x$ et inclus dans $V$ donc $V $ est un voisinage de $x$.
Les 3 propositions sont donc équivalentes.